2016年11月18日

くじ引きの順番(当たりくじを戻さない場合と戻す場合)

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問題55 くじ引きの順番 [高2★★☆☆☆]

 30 本中に 5 本の当たりが入っているくじが入っています。
(1) はじめに A さんが 1 本引き、次に B さんが 1 本引くとき、B さんが当たりを引く確率を計算してください。
(2) はじめに A さんが 1 本引き、当たりであればその当たりくじを中に戻し、外れた場合はそのままにします。次に B さんが 1 本引くとき、B さんが当たりを引く確率を求めてください。

[ヒント] (2) は (1) より少しだけ当たりやすくなっているはずですね。その「少し」がどれぐらいか計算で確かめてみてください。
 
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解答55(引く順番には関係ないのです)

(1)「くじ引きで当たりを引く確率は、引く順番には関係ない」という有名な定理(?)ですね。ですから確率は

5 / 30 = 1 / 6

というように簡単に計算することができます。「本当にそうなのかな?」と疑う人のために一応確認しておきましょう。まず A さんが当たりを引いたという条件付きで次に B さんが当たりを引く確率は

P1 = (1 / 6)(4 / 29)

 A さんが外れた場合に B さんが当たりを引く確率は

P2 = (5 / 6)(5 / 29)

 この2つのケースの事象は独立していますから、 B さんが当たりを引く確率は P1 と P2 を加えて

P1 + P2 = 1 / 6

となっています。次の (2) はこのように場合分けして解くことになります。

(2) A さんが当たりを引いたときに B さんが当たりとなる確率は

P1 = (1 / 6)(1 / 6)

 A さんが外れた場合に B さんが当たりを引く確率は

P2 = (5 / 6)(5 / 29)

 ですから B さんが当たりとなる確率は

P1 + P2 = (1 / 6)(179 / 174) = 179 / 1044

となります。ほんの少しだけ当たりやすくなっていますね。
 
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