スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし


空間座標とベクトル　直線　円の　方程式


01

原点をO として

定点　A,B 　と　動点P

がある

次のベクトル方程式は

どんな図形を　表すか



02




内積を　展開してくでしょ


動かないところ　黒矢線

動くところ　赤矢線


で

Pは　Bを　通り

OAに　垂直な　直線



03

（２）

内積をベクトルで

表すと

APベクトル　⊥　BPベクトル


Pの位置だけが

∠APBが　90度を

保つように　変化する

これはさ

A,Bを　直径の

両端に持つ　円


直径ABであるから

中心角180度

その円周角は　90度

ゆえに

Pは　ABを　直径の両端に持つ

円の周上


04



同じ問題ですが

ベクトルの

成分で　計算すると


05
（ｐ−ｂ）ベクトルは

直線BP

aベクトルと

内積の　形で

＝０　何であるから

点Bを通り　OAに垂直な

直線



06

ずにすれば


一目りょうぜん



07

まとめた　つもりだけど

わかるかな


08

（２）

ベクトルで

表すと


09

成分の　計算は

コンななんですが


ただ　いじってるだけか


10

兎も角

この式は

ABを　直径の両端とする

円


11

類題を

沢山持ってきました

行ってみましょう


12

動かないところ　黒

動くところ　赤

内積を

展開して



13

始点が　同じで

Aベクトルと　大きさが

同じように

動くのだから


始点を　O　として

半径aの円になる



14

次は

左辺を　展開して

まず　Pベクトルの　大きさが


0の時



15

Pベクトルの　大きさが　
ゼロでないときは


Oを　始点として

60度のなす角を　持つ　2つの

半直線



16

これは


17

（a-b）ベクトルは　これだから



これに
垂直

こんなかんじで



18

これは

内積を

くくって

こんな感じだから


19

なんだこりゃ



20

内積を

左辺展開してって

じゃナイスカ


21


平方完成して



22

こんな感じで


23

題意より


24


左辺は

円の　方程式に


25

こんなだったじゃナイスカ

であるから


26

2分の　a+bってのは

ABの　中点でしょ

そこが

円の中心

半径は

右辺に　2乗の形で


27

ラストは

これはさ

円の方程式が

３っ出て来て


ソレゾレ

領域があって


同時に　満たすところは



28

題意より

Aベクトルと　Bベクトルは　垂直

始点は　同じO




29

初めの式は

ABを直径の両端に持つ

円　　左辺=右辺ならば

左辺　大なりイコール

（グレイターイコール　ザン）０であるから

内積が=0ならば　90度

内積が　ゼロ以上であれば

内積の角度は　コサインで

効いてくるので

０以上90以下　で　90度または鋭角



30

（p-b)と（ｐ-a)の

ここのところが

90度以下

この角度は　なす角と等しいので



31

Pの集合は

円周上を　含む

円の外側


32


こんな感じで


33

こっちの円は

OAを　直径の両端にする円

れすイコールザン　0

90度を含んで　鈍角


34

そのPの集合は

円周および　その内部


35


三つ目の円は

OBを　直径の

両端に持つ円で


36

なす角が

90度以上鈍角


37

こんな感じの

円周とその内部に　成るので


38

以上

3っの円を

重ねて


同時に　条件を

満たすのは


この範囲

境界線を含む



お疲れ様です。