スローライフの森　数１　＆　自家菜園

ベクトルの　なす角

なす角　と言うのは　

二つの　ベクトルがあるとき

ベクトルを　平行移動して

始点同士を　合わせたときに

できる　角度　のことです。

01


もんだい


座標が　与えられてます

空間だけど


角BAC 　と　三角形　ABC　の

面積を　求めよ



02

まずは　

余弦定理で

行ってみますが


三角形の　三辺の　長さが

分かってるときは


余弦定理で



座標が分かってるので

2点間の距離　空間　で

長さを　出しといて


03

辺ABは



04


√6



05

辺BCは　√42




06
辺CAは



2√6



07

余弦定理に

代入して


COSの　値で

出て来ますが


-1/2



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なす角はゼロ　から　180　度　（パイ　ラジアン）


コサインは　動径の　

ｘ軸への陰で

座標上


ゼロの時　ぜろ度


ゼロ　から　90度　未満まで　プラス



90度　の時　ぜろ


90度　から　180度　未満の時

マイナス

１８０度　の時　-1


なす角は　120度


三角形の　面積に時は

なす角の　斜辺のサイン　成分が

高さなので


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サイン120度は

√3/2

面積は


3√３



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今の問題を

今度は

ベクトルの内積を使って

解くと



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まず

なす角が

ここン所　であるから



2つのベクトル

AB　AC　を

成分で

計算して


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内積の定義式は

こんなだから


成分の方から

内積が　-6



もう一つの　定義式から

COS　Θ　が　こんなでしょ


分母の　絶対値は

2点間の　距離で求めて



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こんな感じになるので



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なす角が出て来て


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面積も


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ところで

ここんとこの問題で

これが

非常に　良く　出題される


面積が

こんな感じで　書けることを

いえ

と言うんですが


さっきの

上の式から

少し　いじってくと

なるですよ



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底辺　AB　で　書いてたけど

大きさと言う意味で

ベクトルに絶対値を付けて

ABを　aベクトル

ACを　bベクトルとすれば


こんな感じに　なる


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内積の　定義式の　変形で

COS　θは


こんなだからさ


で


√の　外の　絶対値を

√の中に　入れれば


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なったデショ


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類題


内積を　使って

解いてきますか


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aベクトル　bベクトル

を

こんな風に設定して


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内積の定義式�A

成分の方から



内積は　1


成分が分かってるので

ベクトルの

絶対値　（　大きさ　）を　求めて



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COS　θは

1/5



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題意では

サイン角で　求めよ　なので

こんな感じに


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サイン角が出てれば

ベクトルの　絶対値の　積に　

なす角のサイン角


それを　2で割れば


1/2　を　掛けるとも言いますが



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こんな感じで


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問題を　読んでね


図にしたら

コンななんですが

いいですか



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余弦定理で

弧度法で　表して

こんな感じで


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別の　解き方では

式変形してくとさ


内積が　出てきた


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絶対値も　わかってるので


COSΘは

1/2


であるので

180度は　パイ


1度は　パイ/180度（ラジアン）

60度は　？


（60×パイ）/　180　　単位ラジアン


パイ/3


31

問題


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式変形してくとさ




33

分かってるとこ　代入して


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もうすこし

だいにゅうして


COSが出たので




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サイン角は

で

なす角は　0から　パイ（180度）

のものとするので



sigは　0から180度未満

までは　プラス

180度から360未満が　マイナス

であるので

　なす角は　0から　パイ（180度）

のものとするより

プラスの時だけ



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こんな感じで


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なす角の　sin

と

なすベクトルのおおきさ

が　


分かってるので

三角形OABの面積は


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こんな感じで


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点Oは

題意より　重心


40


であるから

三角形ABCの面積は



お疲れ様です。