2022年10月13日
22017 大人のさび落とし 空間座標とベクトル 成分による内積 （空間）
大人のさび落とし
成分による 内積（空間）
01
空間に 3点が 与えられていて
（ 一直線上ではない ）
原点から 3点で決まる 平面に
垂線を 下した足を Hとする時
02
問題
次の 等式が 成り立つことを
証明せよ
と
垂線の足 Hの 座標を 求めよ
平面に ３点が 与えられていれば
原点O から 平面に
下した 垂線の 足の座標が
わかるってことですか
03
原点から
平面に おろした垂線の 足を Hとすれば
平面に 垂直な OH と 平面上の
全ての 線は 垂直
ナノデ
04
垂線は 平面に
垂直
其の他の 点は
角度が 付いた形
直角三角形が 形成されてるため
コサインは こんな感じでしょ
であるから
OH の ２乗になる
05
他の ２つの場合も 同様
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なので
証明された
と
証明されたので
これを さっそく使って
内積の 成分計算で
連立のしてきますと
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まず
成分で 出てるときは
それ イコール 原点に対する
位置ベクトルなので
08
代入してきますと
この 掛け算は
普通の掛け算ではなく
内積の 成分の 掛け算の 仕方なので
こんな感じになってじゃナイスカ
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左 なか なか 右
10
解いてくと
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こんな感じで
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二通り 出たのだけれど
吟味すると
０．０．０は 原点O だから
平面外
であるに
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こうです
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こないだ
何か 似たようなものを
やったじゃナイスカね
行ってみましょう
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まず スタートの内積は こちらから
後ろの 部分を 計算してくでしょ
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コサインの けいさんは
余弦定理を 使って
まず
余弦定理を 使うために
３辺の 長さを
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余弦定理を 思い出していただいて
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これを 計算すると こうなんだね
であるので
初めのとこから
細かく 代入してきますと
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こんなかんじで
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なったでしょ
次は 三点の 位置ベクトルがあって
この三角形の 作る出す
角ABC の COS Θを 求めよ
と
この 三角形ABCの面積を求めよ
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内積を 使うためにじゃナイスカ
二つのベクトルの なす角を
こんな感じにして
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部品を 計算して
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あ コレでやっちゃいけなかったかな
内積の 成分で
計算すれば
絶対値 絶対値 コサイン
イコール
成分の 内積
から
コサイン
イコール
成分の 内積
割る
（ 絶対値 絶対値）
やってみてね
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途中から
余弦定理の 計算になっちゃった
部品を 作って
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答はさ いいんだけど
あれっと思ったんだけどさ
内積の 成分は
（BA）・（BC)の
成分の計算は
＝
（-1）・１＋（-1）・（-2）+ ２・１
＝-1+2+2 ＝ 3
だから
COS Θ = 3/ （√６ √6）
＝ 3/6
＝1/2
Θは ６０度
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答はいいけどさ
27
で 面積は
お疲れ様です
さっきの 内積の成分を 使うのは
こんな感じに
