2022年10月07日
22014 大人のさび落とし 内積 （ 平面）
大人のさび落とし
ベクトルの内積
01
まずは 復習から
内積は ベクトルではなく
実数である
なす角は 始点を 共通に
成るように 平行移動して
その時の
はさむ角
ベクトルの内積は 実数なので
実数の計算による 置き換えで
余弦定理 とか 良く使います
02
同じベクトルの内積
絶対値が付いていて
大きさだからね
内積は 実数で
あり
ベクトルではない
それから 垂直条件
なす角の 範囲 符号
03
内積の 演算法則
交換
分配
内積の展開
04
成分による 内積
平面の時
空間の時
05
成分による
垂直条件
ベクトルのなす角
平面
06
空間の なす角
不等式の時に
思い出して
内積は-1 から 1
07
矢線ベクトルは
平面上にあっても
空間に ねじれの 位置であっても
平行移動により
必ず 平面上に 来る
08
内積の 表現
矢線ベクトル と 成分
別々のものではなく
一方から 他方を 導ける
（ あとで 問題で 証明します ）
09
問題
読んでいただいて
10
かっこ １
図にすると
この 内積だから
辺が 共に 大きさ １
なす角は 60ど
11
かっこ２
図にすると
この内積だから
まず 始点が 同じになるように
平行移動して
なす角は 120ど
だから
12
こんなかんじ
13
かっこ３
まず 括弧の中を
計算したらば
BA
AB と BA のなす角は
180ど
であるので
14
こんな感じ
15
問題を
読んで いただいて
16
かっこ１の内積は
ここだから
まず
始点を 平行移動で
同じにして
なす角
90ど
一辺の大きさを a
であるから
17
かっこ２
求める内積は ここ
なす角は ４５ど
だけど
ACは 対角線だから
√２a
であるので
18
かっこ３
かっこ内を 計算して
ACと同じか
今度は
平行移動で 始点をそろえて
なす角 １３５ど
19
であるから
こんな感じ
20
問題を よんでいただいて
難しく 見えるけど
そんなことない
ベクトルが 苦手だと
問題見た瞬間に
後にしてしまうけど
図を 書いてみると
21
始点が 同じになるように
平行移動
なす角は 60ど
一辺1だから
22
簡単でしょ
23
かっこ２
図にすればさ
なす角は
120ど
だから
24
かんたんでしょ
かっこ３も
ね
25
問題を 読んでいただいて
26
かっこ１
正三角形⇒
三辺が 等しい
ソレゾレ 60ど
一辺を aとして
一つずつ 内積を
計算して
実証してくと
27
まず こんな感じに
28
次も
おなじでしょ
29
三番目も
ね
だからさ
30
言えるんですよ
31
今度は 内積が
こうだったら
⇒ 正三角形
内積を 二つづつ 取り出して
式を 移行して
整理して
そこへ
三角形だから
3っつのベクトルは 足し合わせると
一周して
始点に戻るから
＝0
を 使って
32
さらに 式を 変形してくと
不等式でなく ＝０だから
マイナスを 払って
（ そのままやっても 答えは 同じですが ）
展開したらば
a ＝ C
33
また 二つとってきて
同様に 計算してくと
34
b = a
35
ラスト 一組 計算すると
やっぱり
36
こんな感じで
c = b
37
つまり 三辺が等しく
正三角形である
逆も言えました
38
問題を読んでいただいて
内積は ベクトルではなく
実数ですので
方向では 無く 大きさ
39
かっこ１
求める 内積が これで
これを a,b,cで
表せだから
ＣＯＳ Ａのとこを
余弦定理を 使って
40
かっこ ２
ここはですね
四辺のほかに
対角線も 文字を 使って
そうしてですよ
余弦定理を 使えるように
すると
順次 内積の計算は
41
こんな感じに
変形してきて
42
COS のとこを
余弦定理を 取り込むと
43
こんな感じ
それから
イコール の式を
うまく 組み合わせると
44
ｍが消えて
Lが消えて
残った式を
見るでしょ
45
足すんですよ
46
a = c
47
さっきの 式に 代入して
d = b
48
今度は 初めに 組まなかった 式を
組んで
a = c
d = b
を 代入したらば
ｍ ＝ L
49
ということは
長方形
お疲れ様です
