スローライフの森　数１　＆　自家菜園

01

ド・モアブルの定理の応用

二つ　数列が　あるんですが

和を　求めなさい


ただし

ド・モアブルの定理を利用して



02

ド・モアブル　の定理は　

複素数の　ベキが　こんな感じに

なりますと言うもので


ふたつの　関数は

サイン　コサイン　の　関数のようです



03

サイン　コサインは　２ぱい　周期の　関数なんですが

コサインの　場合は


コサイン　ゼロ　＝　１

サイン　　ゼロ　＝　0



04

そこで

(2)+（１）・i


にしてみると

Z　＝　コサイン　シータ　+　アイ　サイン　シータ　



の　等比数列　を　なしているので



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等比数列の　和の公式を　使って


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1番目　から　ｎ　番目　と　ちと違うのは


0番目が　１ってのがあるので


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当てはめていくと

項数は　全部で　ｎ+1　


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和の繰り返しを　Σ　を　使って

省略すると


ここで　ド・モアブルの定理を　使って


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Zが　公比になってるので


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0から　ｎ　が　こんな感じになって

n+1 が出て来て

これを　計算して



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実部と　虚部に　分ければ　　それぞれの

数列の　和が　求まるという形で


　　実部　（２）　


i　虚部　（１）




　計算してきましょう



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分母の計算



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こんな感じで



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分子の　計算



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これを　じゃナイスカ


積を和の公式を　A B C D

に使って



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ここですよ



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A



18



B



19


C



20

D




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元に　まとめると


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消去できるとこを　消去して


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分母　分子　合わせて


実部　と　虚部


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実部は　　（２）　の数列のわ

虚部は　　虚数単位が　ついてるけど

計算上　都合がいいように　ド・モアブルの定理を

利用するために　虚数を　付けたので


そこを　外したところは　（１）の数列の和



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で

（２）　の数列の和を　もう少し　計算してきますと

半角の公式から　式変形を

代入して


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分子にも　いちぶ　代入して


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　　　２　サイン　2分のΘ　で　くくって



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シンたす　シンは　２シンの子　




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もうい少し　やくせて



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コレダ　　（２）の数列の和




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（１）の方は

虚部に　でていて


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半角の公式から　式変形を　代入して



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分子は　後ろ側を　和を積の形に



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ここで

サイン　Θ　プラス　サイン　ゼロは


サイン　ゼロは　ゼロなんだけど


都合により

シンたす　シンは２シンの子に　入れると



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２　サイン　２分の　Θ　で　くくって


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計算してきますと


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これです


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答え　まとめまして

こう



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和と　積　を　計算しなさいという問題



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これは　どんな数列かと言うと

等比数列で

初項　１　公比　Z　


Zの０乗　が　初めにあるので

項数は　１+19　＝20



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公式に　当てはめると



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そうしたら

分子の方がじゃナイスカ

ちょうど

３６０度



ぜろ



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今度は


積なんですが

指数の積の計算は

指数の　足し算になるので



指数部分は　

初項１　

項数　１９

末項19

の和は

Zの190乗


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こんなカンじで


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これを　少し　計算を　楽にすれば

こうです


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問題を　読んでいただいて



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割り切れるんだから

この　ｘ二乗+1　＝0　の　答えを　代入したらば

ゼロになる


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ｘ＝　ぷらすまいなす　i


を　代入すると


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ｘ＝iの時


50

ｘ＝-iの時



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二つ　式が出てきたんですが


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たし　引き　するでしょ


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こんな感じで


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ところで

題意より

cos mα　not=0

sin mα　not=0


より


a=-1

b=-1

お疲れ様です。



（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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