anuritoのあらすじ

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　前回の最後に出来上がったグラフを、再録しておきます。



　いかがでしょうか。どうやら、横に伸びた数列につきましても、一定の法則に従って、分岐が発生しているようなのであります。

　分かりやすく、横の数列の最初の奇数の数字だけを抜き出して、並べてみましょう。

1
5
21
85
341
1356
5461

　最初の「1」は、実質上、縦にある2の倍数の数列と同じものです。それを踏まえて、これらの数列のそれぞれの分岐の仕方を表記してみますと、

1　　　3番目の数字から、一つ置きに分岐
5　　　2番目の数字から、一つ置きに分岐
21　　　分岐なし
85　　　3番目の数字から、一つ置きに分岐
341　　　2番目の数字から、一つ置きに分岐
1356　　分岐なし
5461　　3番目の数字から、一つ置きに分岐

　とまあ、三種類の分岐パターンが、順番に繰り返されているらしいのが、分かるのです。

　もちろん、これは、本当でしたら、もっと沢山の長い数列を作成してみて、それらを実際に検分してみてから、断言すべき結論なのでありましょう。
　しかし、庶民用のパソコンの計算機で、このグラフの巨大なものを作るのは、かなりの労作業であり、あまりにも不向きです。それに、この結論はほぼ確定のはずなのであります。さらには、なぜ、こんな分岐パターンのループになっているのかも、よおく調べていけば、論理的にも説明できるのではないかと思われます。

　つまり、私が今作成している、コラッツの数式の新しいグラフとは、そこまで、ち密な計算が全体に行き渡っており、一貫した法則性によって構築されているグラフなのであります。

　前回までの解説で出来上がったグラフが、こちらです。

1
2
4、1、2、4・・・
8
16、5、10、20、40、80、160、320、640・・・
32
64、21、42、84、168、336、672、1344・・・
128
256、85、170、340、680、1360、2720、5440・・・
512
1024、341、682、1364、2728、5456、10912・・・
2048
4096、1365、2730、5460、10920、21840・・・
8192
16384、5461、10922、21844、43688、87376・・・
・
・
・

　2の倍数の数列の時も、横から奇数の分岐が発生しましたように、この右へと伸びている、それぞれの倍数の数列からも、当然のごとく、分岐した奇数が存在している訳です。

　書き足しますと、こんな感じになります。



　目ざとい人でしたら、これだけを見ても、ハッとしたかも知れませんが、少しずつ順番に解説していきたいと思いますので、ここで、いったん、次回へと続きます。

　ここで、前回の解説で作ったグラフを、あらためて、提示しましょう。

1
2
4、1
8
16、5
32
64、21
128
256、85
512
1024、341
2048
4096、1365
8192
16384、5461
・
・
・

　コラッツの数式を理解されていれば、すぐにピンときてくれると思いますが、この横に突き出た奇数の数字たちも、このまま、右の方向へ、倍数の数列になって、伸びていく事になります。

　書き足しますと、こんな感じです。

1
2
4、1、2、4・・・
8
16、5、10、20、40、80、160、320、640・・・
32
64、21、42、84、168、336、672、1344・・・
128
256、85、170、340、680、1360、2720、5440・・・
512
1024、341、682、1364、2728、5456、10912・・・
2048
4096、1365、2730、5460、10920、21840・・・
8192
16384、5461、10922、21844、43688、87376・・・
・
・
・

　言うまでもなく、これらの奇数の数列も、どこまでも大きく、無限に続いていきます。

　正確には、これで、（各奇数の右隣にある偶数の）10、42、170、682、2730、10922・・・の倍数の数列も、全て、コラッツ予想の確定数字にと加わった事となるのです。

　前回の解説で私が作り出した数列を、もう一度、おさらいしておきましょう。

1
2
4、1
8
16、5
32
64、21
128
256、85
512
1024、341
2048
4096、1365
8192
16384、5461
・
・
・

　まずは、数字の分岐が一つ置きに発生している事に、皆さんも気付かれたのではないかと思います。

　恐らく、この法則性は、2の倍数の数列が、このまま、もっと巨大な数になっていっても続いていくのではないかと考えられます。

　もっとも、残念ながら、私のような無能な人間と汎用パソコンの限界では、とても、この法則性を「実際に確認する」という手段では、証明できそうにありません。よって、この「実際の確認」については、どこかの正式な数学者と計算専門のスーパーコンピューターにでも委ねたいと思います。

　代わりに、たったこれだけの小さな数字の配列からだけでも、早くも、次の法則性を発見する事ができます。
　分岐する事によって、新たに出現した数字（奇数）を、順に並べてみましょう。


1、5、21、85、341、1365、5461・・・

　実は、これらも、何の規則性もない数字の羅列などではなくて、きちんとしたルールに従って、数字が並んでいるのであります。

1を4倍して+1が、5
5を4倍して+1が、21
21を4倍して+1が、85

　と言うように、はっきりした拡大のルールが、この数字（奇数）の配置には存在していたのです！

　ただし、それは、当たり前といえば、当たり前の話なのかも知れません。

　これらの奇数の分岐元である偶数も「4、16、64、256、1024、4096・・・」と言うふうに、4倍に増えていっています。そして、この分岐元の数字（偶数）を奇数に直すに当たって「-1」の処理を施していますので、これらの奇数に「+1」が加わるのも、必ずしも、おかしな事ではないのであります。

　このように、見方を変えて、1の方から数列を作り直してみれば、「整数n を1まで分解していく数列」では分からなかった様々な法則性が、はじめて、具体的な形になって、目に見えてくるのです。

　ここで、鋭い人でしたら、もう気付いたのではないかと思います。

　前回の解説で、私は、まず、2の倍数の数列をコラッツ予想の確定数字にと認定いたしました。でも、これは、ただの一直線の数列でもないのです。

　終着点の数字である1と2がある以上は、この2の倍数の数列には、コラッツ予想の確定数字が全て繋がっていなくてはいけません。そして、「コラッツ予想（その10）」で説明しましたが、コラッツの数式の数列は、二股に分岐する形で増えていくものなのです。

　つまり、この2の倍数の数列には、確実に、数字の分岐点が存在する事になる訳です。

　理屈を並べ立てているよりは、実際に計算してみた方が手っ取り早いでしょう。2の倍数の数列には、こんな風に、分岐した数字がくっついていく事になります。

1
2
4、1
8
16、5
32
64、21
128
256、85
512
1024、341
2048
4096、1365
8192
16384、5461
・
・
・

　どの数字に分岐があるかの見分け方も、さほど難しいものではありません。

　要するに、コラッツの奇数の数式の逆を試してみればいいのです。「奇数n ×3+1」の反対、すなわち「（偶数n -1）割る3」の計算式にかけてみるのです。これで、分岐のある偶数n ならば、きちんと整数の形に割り切れますが、分岐のない偶数n の場合は、ぴったりとした整数には割り切れず、つまりは、その数字には分岐がない事が分かるのです。

　そして、この段階で、この数字配列における、さらなる法則性に気が付いた人もいたかも知れませんが、しかし、それについては、ひとまず、次回の解説に譲る事にしましょう。

　さて、現在、私たちは、コラッツの数式を、1から順番にさかのぼって、分析している訳ですが、ひとまず、「4」まで辿り着く事ができました。「4」の先は2方向に分かれており、片方は8（偶数）、もう片方（奇数）は1となっています。

　そもそも、数字「1」が出てきた時点で、すでに話がこんがらがり出しているのですが、ここはひとまず、「8」の方に目を向けて、解析を続けていく事にしましょう。

「8」は、「偶数8 割る2＝4」によって導き出された数字でした。しかし、振り返ってみますと、これまでの数字だって、
「偶数4 割る2＝2」
「偶数2 割る2＝1」
　と、コラッツの偶数の数式を逆算して、見つけ出した数字だったのです。

　でしたら、このまま、偶数の数式ばかりを逆算してゆき、その先にある数字もどんどん繋げてしまいましょう。

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384・・・

　もはや、コラッツ予想とも関係なく、ただ、2の倍数を次々に倍にしていっただけのようにも見えますが、これはこれで、コラッツの計算の数列としては、成立しているのであります。

　そして、数字が無限である以上、この数列は、永遠に、莫大な数になっても、どこまでも続いていく事になるのでしょう。それだけではなく、この数列に並んだ全ての数字が、その時点で、コラッツ予想の確定数字にも該当した事になるのです。

　過去のコラッツ予想への挑戦者たちは、まず、任意の整数の方を出発点にして、その整数が1まで分解できるかどうかを一つ一つ調べてきましたが、私のやり方では、1から出発して、そこへと辿り着く整数をコラッツ予想の確定数字にと判定していったのでした。

　前回の私の解説で、
「コラッツの計算式の数列の最後部は、絶対に、4、2、1、になる」事が確定しました。

　次に「4」を考えてみる事にしましょう。
　実は、「4」で、はじめて、偶数と奇数の二つの計算式が活用される事になります。「偶数8 割る2」でも4になりますし、「奇数1 ×3+1」でも4になるからです。どちらの計算式からでも、「4」という答えは得られるのです。

　ここで、「偶数の計算式と奇数の計算式のどちらの計算式からでも得られる数字がある」という事が判明しました。そして、同時に「一つの数字は、最多でも二つの計算式からしか得る事はできない」という定義も確定した事になります。

　なぜなら、コラッツの計算で使って良い数式は二つしかないからです。それぞれ（偶数と奇数）の数式は、当てはめる n の値が変われば、その答え（解）も必ず別の数字になります。ならば、同じ数字の答えが得られる可能性は、偶数の計算式と奇数の計算式の答えが一致した場合しかない、という理屈になるのであります。

　つまり、これまでは、複雑な進化系統樹のようにも見えたコラッツの数式のグラフですが、実際には、よおく確認しますと、その分岐は常に二股の分岐しか無かったのであります。三方向にすら割れる事はありません。もう、これは、数式の仕組み上の絶対的なルールなのです。

　決して難しい事は言ってはいませんし、むしろ、当たり前すぎるような話にも聞こえるかも知れませんが、コラッツの数式の特性を考えるにあたっては、この基礎的な発想を素通りしてはいけません。
　と言いますのも、この単純なルールの上に、コラッツの数式のより高次な法則性とかパターンなどが構築されていく事になるからです。

　コラッツの数式を実際に自分で計算してみて、恐らく、数学のシロウトの方でも、すぐに気が付いた点があったと思います。それは、
「どの整数の計算でも、最後の1になる手前は、いずれも同じ過程を経ている」という事です。
　あらためて、3と7と15の計算経路を並べてみましょう。

「3」3、10、5、16、8、4、2、1
「7」7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1
「15」15、46、23、70、35、106、53、160、80、40、20、10、5、16、8、4、2、1

　とまあ、10以降の数字は完全に一致しているのであります。7と15は、40の時点で、もう重なっています。

　でも、これは、別にぜんぜん不思議な話でもないのです。
　そもそも、コラッツの計算式で、答えが1になる為には、同じ計算をするしかないからなのであります。

　具体的に言っちゃいますと、
「答えが1になる計算式は「偶数n 割る2」の n に「2」を当てはめたものしかない」のです。
　他のいかなる整数を n に当てはめてみても、絶対に1にはなりません。これは、確定した明白な事実なのです。

　では、奇数の計算式「奇数n ×3+1」に何らかの整数を当てはめてみた場合、答えが1になるかと言うと、やはり、こちらも絶対に1になる事はありません。×も+も、数字を大きくするだけなので、1になるはずがないのです。

　コラッツ予想で使用できる数式は、この二つしかありません。だったら、必然的に、
「答えが1になる計算式は「2割る2」しかない」と言う結論が導き出される訳です。


　続いて、「答えが2になる」計算式を考えてみましょう。

　実は、こちらも「偶数n 割る2」の n に「4」を当てはめたものしか存在しないのであります。他のどんな偶数も、この計算式によって2にはならないのです。

　そして、「奇数n ×3+1」の数式からも、2という答えを作る事はできません。最小の（整数の）奇数は1ですので、1をこの計算式に当てはめたのでは、1以上の数にしかならないからです。1が無理なら、他の大きな数字だって、もう絶対に1になるはずがないのであります。


　なんだか、ものすごく当たり前のことを書いているように見えるかも知れませんが、この事実は、コラッツの数式を考える上で、とても重要なポイントです。

　さて、生物の進化系統樹が不確実な偶然によって構築されているのと同様に、（これまでに提示されてきた）コラッツの数式のグラフも、数字がただ不確実に羅列しているだけのようにも見えました。

　しかし、そもそもが、こんな進化系統樹のような形のグラフを書いてしまうのは、「コラッツの数式で計算した整数は、最後は1になる」という命題を出発点にしていたからだったとも言えます。
　あるいは、見方を変えれば、コラッツの数式は、全く違う形のグラフにも書き直せるのではないのでしょうか。

　そこで、私は、逆を考えてみる事にしました。
「コラッツの数式で計算した整数は、全て、最後は1になる」
　という事は、言い換えれば、
「コラッツの数式を経由する事によって、全ての整数は繋がっている」
　という意味にもなります。つまり、
「コラッツの数式をグラフにした時、そのグラフ内に、全ての整数を組み込む事ができる」のであれば、
　それは、
「コラッツの数式で計算した整数は、全て、最後は1になる」
　の証明にもなるはずなのであります。これこそは、まさに、コラッツ予想の解決です。

　残念ながら、現時点の進化系統樹のようなグラフでは、とても、その中に全ての整数が組み込まれているかどうかは確認できません。だからこそ、新しい形のグラフが必要となるのです。

　コラッツ予想に初めて触れた方とかは、私のここまでの説明を読んでみて、なんだか、コラッツの数式の法則性やパターンが掴めてきたようにも感じられたかも知れません。
　確かに、ここまでの小さな数字ですと、分岐の仕方も単調であり、意外と簡単に解けそうなルールで、それぞれの数字が配置されていそうにも思えてしまいます。

　ところが、（前回も少し触れましたが）次の数字「27」で、コラッツの数式は、いきなり、あらぬ方向に進んでしまうのです。
　この「27」なのですが、「1」まで分解する為には、実に111回もの計算を必要とするのであります。

　しかも、以降の数字の全てが、こんな膨大な計算数を必要としている訳なのでもなく、続く「28、29、30」は再び20回以内の計算に戻ります。「31」は、また3ケタの計算数になりますが、そのあとの「32」から「40」までの数字は、またまた少ない計算数で済み、中には、1ケタの計算で終わってしまう数字（32や40）も混ざっています。

　ならば、飛び飛びで巨大な3ケタ計算の数字がポツンポツンと出現するのかと思いきや、必ずしもそうとも言い切れず、「54」と「55」は2つ続けて3ケタ計算ですし、「71」と「73」は、間に数字一つ（72）だけを挟んで、どちらも3ケタ計算です。「107」から「110」までは、3ケタ計算が4つも連続で並びます。

　このように、コラッツの数式における数字の配置には、やはり、単純な絶対的パターンが存在していないのであります。少なくとも、現段階では、そのように見えます。
　沢山の優れた数学者たちが挑戦しているのにも関わらず、いまだにコラッツ予想が証明されていないと言われるのも、決して伊達ではないのです。