Excel VBA　数学実験室

理工系の数学入門コース 6　フーリエ解析 [岩波書店／大石進一]

フーリエ解析 (理工系の数学入門コース 6) 中古価格 ￥653から (2016/7/8 10:39時点)

　フーリエ級数展開（Fourier series expansion） とは、任意の関数を三角関数の和で表すことです。この説明を初めて聞いて「すごい！　本当にそんなことができるの！？」と感動した人は数学センスのある人です。馬鹿な私は「何のこっちゃ？」と口をぽかんと開けていただけでしたけど。まあともかく、理工学部に入学したら必ず学ぶ内容ですので、入門書選びには慎重になりたいところ。私はこの理工系の数学入門コースのフーリエ解析をお勧めします。本書の構成は以下の通り。


　このシリーズは理工系の学生さんには有名ですから、「何を今さら」と思われるかもしれませんが、別にシリーズ全てをお勧めしているわけではありません。中には「 ...... 」と無言になってしまうような本もありますから。ただ、このフーリエ解析の内容はかなり秀逸で、当ブログの記事を書く参考にもしています。

大学 4 年間、この 1 冊で事足ります

　入門書といっても、必要な項目はほとんど全て網羅されています。本書はフーリエ級数に始まって、フーリエ変換、偏微分方程式、ラプラス変換と進んでいきます。線型システム解析やヘビサイド関数、ディラックのデルタ関数など、興味深いトピックもたくさん散りばめられています。本書を全て読み通せば充分な知識を得ることができます。同じ分野の書籍を何冊も購入するのはお金の無駄ですから、 1 冊で済むならそれに越したことはないのです。

計算力が鍛えられます

　フーリエ級数やフーリエ変換は、概念的にそう難しいものではなく、シンプルなロジックの積み重ねです。整数論のように「うーん」と頭を捻りながら学ぶ類の分野ではありません。しかし、とにかくたくさんの積分計算を要求されます。理工学部に進まれた皆さんは高校時代に受験勉強でバリバリとたくさん計算されたと思いますが、そこで培った基礎体力は、このフーリエ解析で生かされますし、ここでさらに根性（？）が鍛え上げられること間違いなしです。

応用範囲の広い数学です

　フーリエ解析は物理学や工学の幅広い範囲で応用されている数学ですので、どこかでまとめて時間をとってしっかり学んでおきたいところです。また、現代では数値計算を用いて応用されるケースがほとんどです。本書でも数値計算によって描かれた図が豊富に紹介されています。とはいえ、かなり昔（1989 年）に出版された本ですので、「 ...... ええと ...... もうちょっと綺麗なグラフに差し替えた方がいいような」と思ったりもします。おそらく現在の皆さんの環境では遥かに美しいグラフで再現できますので、余力のある人は Excel や VBA、或いは C++ などで本書の内容を確認してください。昔はフーリエ級数１つを計算させるにもいちいち面倒なプログラムが必要でしたが、現代の Excel を使えば多少難しい計算でも 2, 30 分ほどで済むはずです。

ラプラス変換の美しさを堪能してください

　フーリエ変換は実に見事な理論ですが、その修正版ともいえる「ラプラス変換」は芸術品ともいえる完成度です。この変換を施すことによって、線型常微分方程式の解を四則演算で求めることができるようになります。本書では最終章に載せられています。残念ながら少しページ数が物足りないのですが、この章を読み終えた時、「苦労した甲斐があったなあ」と感慨に浸ること間違いなしです。
　 　

インド式秒算術 [日本実業出版社／プラディープ・クマール]

インド式秒算術 中古価格 ￥1から (2016/7/6 23:42時点)

　インドといえばカレーですが、それだけではありません。インドでは古代からとても高度な数学を発達させてきました。インドの先人たちの数学知識の蓄積はヴェーダ数学と呼ばれ、実に巧みな計算術が網羅されています。 10 年ほど前にインド式計算法（ヴェーダ数学）がブームになって関連書が数多く出版されたことがありました。その当時、何冊か目を通した中で一番読みやすいと感じたのがこのインド式秒算術です。著者のプラディープ・クマールさんはヴェーダ数学の専門家ということですから、そういう点でも「本場」の安心感があります。この本で一生懸命勉強して「インド人もびっくり」な計算達人を目指しましょう。本書の構成は次のようになっています。

実践的な計算技術に的を絞っています

　とにかく学んですぐ使える技術に焦点を当てて無駄を省いていますので、速い人なら本書の内容を 10 日ほどで消化して学業や仕事に応用することができるようになるはずです。急いでいる人は掛け算や 2 乗計算の部分を拾い読みしても充分に力がつきます。インド式計算法を知っていると


というような計算も一瞬で暗算できるようになります。学んでおいて損はありません。

「たすきがけ」は便利な計算法です

　本書は冒頭でいくつか特殊な計算法を学んだら、それ以外は「たすきがけ」に持ち込もうというスタイルです。この「たすきがけ」は、小学校で習う筆算を改良したような計算法で、さほど驚くほどの技術ではないのですが、やはり通常の筆算よりは速く計算できますし、思った以上に計算ミスが出にくいので、なかなか重宝します。

たくさんの問題が用意されています

　計算技術を無意識レベルまで習得するには大量の練習が欠かせませんが、本書には単元ごとに豊富な問題が用意されているので、１つの計算法をしっかりと身につけてから先に進むというドリル方式で学習できます。

お子さんの学習の手助けにも最適です

　本書は大人向けに書かれた本ですが、小学校 5 年生ぐらいの学力で充分に理解できる内容です。まず親御さんがこの本をしっかり読んで、お子さんの算数の宿題を見ながら「こういうふうにすると計算がうんと速くなるよ」などと教えてあげると、「お父さん、すごーい！」と尊敬されること間違いないし（？）です。お子さんとの円滑なコミュニケーションのためにもお勧めの一冊です（ちょっと強引かな ...... ）。
　 　

物理数学の直感的方法 [講談社／長沼伸一郎]

物理数学の直観的方法―理工系で学ぶ数学「難所突破」の特効薬〈普及版〉 (ブルーバックス) 中古価格 ￥550から (2016/6/8 14:19時点)

　この本は、工学や物理を学ぶ大学 1 年生の皆さんにぜひお勧めしたい本です。最初から終わりまで通読する必要はありません。この本を常に携帯しておいて、皆さんがこれから大学で学んでいく過程で初めて出会う概念（行列の固有値やエントロピーなど）が登場したときに、必要なページを開いて熟読してもらいたいのです。

　大学で学ぶ数学というのは、高校数学に比べて抽象性がとても高く、ただがむしゃらに取り組んでも「いったい自分は今何をやっているんだろう」と茫然自失とさせるような罠がたくさん待ち構えています。とはいっても、工学や物理学に応用する数学は現実世界を扱うためのものですから、そこに必ず「具体的な意味」というものが隠されているはずで、本書ではそういう「具体的なイメージ」をじっくりと丁寧に解き明かしてくれます。

　本書は全 10 章で構成されています：

　第 1 章　線積分・面積分・全微分
　第 2 章　テイラー展開
　第 3 章　行列式と固有値
　第 4 章　e^iπ = −1 の具体的イメージ
　第 5 章　ベクトルと rot と電磁気学
　第 6 章　ε−δ論法と位相空間
　第 7 章　フーリエ級数・フーリエ変換
　第 8 章　複素関数・複素積分
　第 9 章　エントロピーと熱力学
　第 10 章　解析力学

　特に第 1 章から第 5 章までの内容が、大学初年度の講義内容に対応していますから、最初の 1 年はこの第 5 章まで読み込んでおけば充分です。
　特に第 5 章は注目に値する章です。大学の「電磁気学」や「ベクトル解析」の講義で rot （回転：ローテーション）という概念が登場したら、ただちにこのページを開いてその意味を掴んでください。本書を通して一番易しい章ですし、ページ数も少ないので、すぐに「あ、なるほど。rot てこういうことなんだ」と理解できると思います。頭に具体的イメージを持っていると、その先の学習もスムーズに進みます。

　個人的には数学科以外の人に第 6 章のε−δ論法はいらないと思うのですが、純粋に数学が好きで知的好奇心を満たしたい人にはお勧めです。「関数が連続であること」について深い洞察が得られます。

　第 7 章以降は大学 2 年以降に折を見て少しずつ、という感じで読んでいけば良いと思います。第 9 章の「エントロピーと熱力学」は本書で最難関ですが、著者の「難しい概念をできるだけ分かり易く、しかも正確に説明する」という「熱」が伝わってくる内容です（駄洒落が嫌いな人はごめんなさい）。この章に関しては、あまり急がず焦らずに 5, 6 回繰り返し読んで理解に努めてください。さすがに歯応えがあります。物理数学もこのあたりまで理解が進むと、「東大理�V」の入試問題があたかも算数のように易しく感じられるようになります。

　もちろん、すでに大学 3, 4 年生の人にも本書はお勧めです。
　すでに専門の勉強で忙しくなっているとは思いますが、基礎的事項の理解はやはり大切ですので、「行列の固有値は計算できるけど、どうにもイメージが曖昧だな」とお考えであれば、無理に時間を作ってでも本書に目を通しておくことは決して無駄にはならないと思います。
　 　

Excel で学ぶ微分・積分　[涌井良幸／涌井貞美 ナツメ社]

　残念ながら絶版になってしまいましたが、まだ中古市場では辛うじて出回っているようです。そもそも解析学に的を絞った Excel 関連の本は希少です。それだけで本書は十分な価値があるのですが、そういう点を抜きにしても本当に良い本です。

Excelで学ぶ微分・積分―Excelで微分・積分を学習すれば、いろいろと実感を伴って理解できる 中古価格 ￥2,200から (2016/2/10 11:01時点)

　私自身の経験から言えば、数学をある程度扱える人は Excel を学習するときにとても有利になります。数学と表計算ソフトは相性が良く、たとえば２次関数のグラフを描きながらオートフィルやグラフウィザードの使い方を自然と学んでいけますし、 Excel に用意されている数学関数の意味を理解するのも速いでしょう。そもそも数学の論理構造を把握できる人にとって、Excel の操作を習得することはさほど困難ではないはずです。

　本書の特徴は次のような点です。

　�@微分積分を学びながら Excel の基本を学べる。
　�A数学の学習と Excel の学習のバランスがちょうど良い。
　�B解析学について、かなり高度な内容まで踏み込んでいる。
　�Cレイアウトに無駄がなく、整理整頓されていて見やすい。

　特に�@と�Aが重要な点です。一般に Excel を用いた数値計算の本は Excel の基本操作についてはおざなりです。たいていは数学のほうに重点が置かれています（当たり前かもしれませんが）。しかし本書は Excel の基本についても一切手抜くことなく丁寧に解説してくれています。それこそ Excel における数式の入力やオートフィルのやり方、グラフウィザードの起動など、本当に基本中の基本から大きな図を使って説明してくれています。 Excel 中級者の人にとっては「こんなことわかりきってる！」と思われる内容かもしれませんが、章が進むにしたがって３次元グラフの描き方など、少しずつ高度な操作の説明が登場するのでご心配なく。
　一方で微積分の説明に関しても厳密性をばっさり切って捨てて（数学的厳密性なんて専門家以外には不用です！）、直感的に図解的に、それこそ Excel のグラフと連動しながら分かり易く記述してくれています。微積分の入門書として読んでも本当に良質な本です。

　�Bについていえば、「よく僅か 240 頁の本にこれだけの内容が入ったなー」と感心するぐらい幅広い内容を扱っています。高校数学の範囲を超えて、テイラー展開、偏微分方程式、ラプラス変換、確率微分といった話題を惜しげもなく提供してくれています。

　�Cもこの手の本には大事な要素。どんなに良いことが書かれていても、読む時にストレスを感じては価値も半減してしまいますからね。

　もう１つ私個人として感心したのは、「 Excel において複素数をどう扱うか」ということが書かれている点です。 Excel には IMPRODUCT（複素数の積を求める）など、複素数を扱うための関数がたくさん用意されているのですが、エンジニアのような特殊な人しか用いない関数であるためか、あまり一般向けにこれらの関数が説明された本はありません。しかし数学の学習には複素数を避けて通ることはできませんから、本格的に Excel で数学を学ぼうとすれば、これらの関数の扱い方を習得しておく必要があります。そういう点でも本書は貴重なのです。

　この本を読み通せば、Excel についても、微分積分についても相当な知識を得ることができますよ！
　 　

Excel で遊ぶ手作り数学シミュレーション　[田沼晴彦／講談社]

　表題では『 Excel で 〜 』となっていますが、内容を見る限りは『 Excel VBA で 〜 』としたほうが良いような気がします。余計なお世話かもしれませんけどね。

Excelで遊ぶ手作り数学シミュレーション―グラフ機能とVBAプログラムを自在に操る (ブルーバックス) 中古価格 ￥500から (2016/2/17 19:11時点)

　VBA（Visual Basic for Applications）を用いてグラフィックスを描きながら数学を学べます。
　数学の内容自体はかなり易しいです。著者は高等学校に勤めておられるそうなので、なるべく高校数学の範囲を超えないように気をつかって記述してくれています。ですから高校２年生以上の学力がある人にとってはむしろ VBA の入門書としておすすめしたいです。

数学を題材にすると自然な形で VBA の知識を習得できます

　別の本の紹介の頁で「数学が得意な人は Excel を学ぶのに有利です」というようなことを言いましたが、同じことは VBA にもいえます。実際、プログラミング言語というものは厳密な論理構造の上に成り立ちますから、数学的思考法と相性が良いのです。

　VBA はプログラミングの世界では（不当なほどに）評価が低いのですが、Excel は普通の仕事場に普及した表計算ソフトです。 VBA は Excel を制御する言語ですから VBA をマスターすればもう１つ高い水準で Excel を扱うことができます。したがって、将来専門のプログラマーになるのではなく、「 Excel のスキルにもう１つ上乗せして仕事に生かしたい」と思う人にはぴったりの言語だといえます。

　ところが VBA を学びたい人のための入門書というのは本当に少ないです。一般に VBA 入門書というものに目を通してみると、データ型宣言や For Next など基本事項の説明のあと、名簿、工程表、納品表の作り方などオフィス向けのプログラムの組み方などが載っていたりしますが、実はこういうプログラムは意外と初心者にとっては難しいのです。まだコードなんて一行も書いたこともないのに、いきなり「こう書け」と言われて面食らう人も多いはずです。

「え？　逆じゃないの？　数学のほうが難しいでしょ」
と思われるかもしれませんが、初等数学のためのプログラムというものは（もちろん内容によりますが）、簡素で易しいものが多いのです。それは多分に数学とプログラム言語の相性によるものが大きい思います。もともと論理構造が似ているので、比較的短いコードで記述できるのです。そうした意味でも数学を使って VBA を学び始める、というのはベストな選択だと思います。

　そして何より、数学が好きでプログラミングにもちょっと興味がある、という人にとっては何より「とても楽しい本」なのです。エクセルだけでは静止画しか描けませんが、VBA は動的グラフィックスを描くことができます。しかもそれがとても短いコードで実現できます。
　まだプログラムを学んだばかりなのに「こんな段階で動くグラフィックスを作れちゃうの！？」と感動すること間違いなしです。最終章（８章）では楕円の方程式を用いて "惑星の運動をシミュレーションする" というところまで辿り着きます。「初心者がこんなすごいの作っちゃっていいのー！？」と叫んでしまうはずです。
　一般的な VBA 入門書の多くはオフィスで使用するための実用的なコードを紹介しているので、動的なものはほとんどありません。仕事の役には立ちますが、さほど感動するような類いのものではありません。喜びや驚きの感情を伴っていたほうが人間の脳は知識を吸収しやすいといわれていますから、特に基礎を学ぶ段階では本書のように知的好奇心を刺激する内容であったほうが良いと思われます。

　本書に含まれる数学的内容は以下の通り：

　・２次関数
　・三角関数
　・素数と完全数
　・円の方程式
　・極方程式（正葉曲線、楕円曲線）

　この本を読み通せば VBA の基礎的な土台は出来上がっているはずです。
　そのあとに一般的 VBA 入門書を手に取れば、とてもスムーズに VBA の知識を吸収していけるはずです。
　次の段階で読むべき入門書についても、いずれ紹介する予定です。