問題79 級数が整数でないことの証明 [高１ ★★★☆☆]
n > 1 のとき、次の級数が整数でないことを示してください。[ヒント] どう見たって整数ではなさそうですけど、いざ示せと言われるとけっこう戸惑ってしまいますよね。適当に n を決めて、あれこれ数式をいじってみると、何かが見えてくるかもしれません。
[参考] 素数入門（芹沢正三／講談社）
問題 79 の解答
一般論に入る前に n = 8 として様子を見ます。これが整数でないことを示すには、両辺に整数を掛けて右辺に１つだけ分数を残せばいいのです。しかし何を掛ければいいかと考えると意外に難しいです。そこで上の式を次のような形で表してみます。
分母が偶数のところだけ、2k で括っているだけです。すると 1/22 と 1/23 の間にある数字の分母に含まれる 2 の指数 k は 2 以下であることがわかります。ですから、この級数に現れる奇数を全て掛けた数字 r = 1・3・5・7 と 22 を両辺に掛けると
22 r a = 整数 + 1/2
というように右辺に 1/2 が残ることがわかります。一般的な場合でも全く同じようにして、
とおいて、右辺に現れる全ての奇数の積を r, 右辺の分母に現れる 2 の指数の最大値を s とします。そして両辺に 2s-1r を掛けると、
2s-1 r a = 整数 + 1/2
というように必ず右辺に 1/2 が残ります。a が整数であると仮定すると矛盾するので、やはり a は整数ではないことがわかります。
