2016年09月16日

3つの連続する二桁の整数を2乗して足し合わせます

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問題38 3つの連続する二桁の整数 [中学3★★★☆☆]

 3 つの連続する 2 桁の整数を、それぞれ 2 乗して足し合わせた数のうち、一の位が 5 となる数はいくつありますか。

[ヒント] 何から手をつけてよいかわからないときは、「たとえば 13, 14, 15 の場合はどうなるのかな?」というように、あれこれ試してみると思わぬところに突破口が見つかったりするものです。整数問題は「とにかく紙に何でも書きまくる!」の精神が大切です。数学はスマートさだけでなく、そういう泥臭さも要求されるものなのです。

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解答38(平方すると一の位はどうなるでしょう?)

 ある数 N を 2 乗したとき、その一の位がどうなるかをいくつか試してみましょう。

112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, ......

 N の末位を 2 乗した数の末位が N 2 の末位になっていますね。筆算などの手順で自明なことですから、この事実はそのまま使って構いません。

 次は 3 つの連続する数についての性質を調べてみます。 3 つの数を n, n + 1, n + 2 とおいて 2 乗して足し合わせてみると

S(n) = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 3 n (n + 2) + 5   [*]

となります。問題では末位が 5 となる数について問われています。末位が 5 となる数は必ず 5 で割り切れますから、 n と n + 2 のどちらかが 5 で割り切れなくてはいけません。念のために補足しておくと、両方とも 5 で割り切れることはありえないですよ? 先ほどみたように末位にだけ着目すればいいので n を 0 から 9 に限定すると、

n が 5 の倍数 n = 0, 5

n + 2 が 5 の倍数 n = 3, 8

この組合せのみが 5 で割り切れます。まとめると

n = 0, 3, 5, 8

です。たとえば、

(10, 11, 12), (13, 14, 15), (15, 16, 17), (18, 19, 20)

などの組合せについて、2 乗して足し合わせると 5 で割り切れるということです。しかし 5 で割り切れたからといって、必ずしも末位が 5 であるとは限りません。末位が 0 という可能性が残されています(このあたりの必要十分関係にはいつも要注意です!)。あとは [*] で計算して確かめてみるしかありません。

S(0) = 5, S(3) = 50, S(5) = 110, S(8) = 245

となって、結局は n = 0 と n = 8 が残ります。十の位が 1 である場合、

(10, 11, 12), (18, 19, 20)

が題意を満たます。十の位が 2 から 8 でも同様ですが、十の位が 9 のときは気を付けなくてはいけません!

(98, 99, 100)

は 3 桁の数が含まれてしまうので条件に合いません。ここまで解答を作って、この詰めを逃したら涙が出そうになりますね。ちなみに私のこの解答を記事に入れる前の最終チェックでようやく気づきました。危なかったです。答えは

2 × 8 + 1 = 17 個

となります!
 
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