スローライフの森　数１　＆　自家菜園

大人のさび落とし　内積　絶対値2乗　の　利用

01


平行四辺形　ABCD　において

次の　等式が成り立つ　事を

ベクトルを　用いて　証明せよ


02

原点と　ｘ　軸　ｙ軸　は

書きこんで　ませんが

位置ベクトル　の　考え方で


また


平行四辺形で　あることを　理由に

式変形を　行いながら



03


内積は　二つの　ベクトルと　そのなす角のコサイン

コサインは　0の時　1

垂直　90°のとき　0


同じベクトルの　内積は　平行で

向きが　同じ


内積の　分配の　法則に　したがって


展開して行くと


04

ACの　絶対値　2乗は

➀

BD　の　絶対値　2乗は

�A


05

AB　と　AC　の　絶対値　2乗は

こんなカンじ　なので



06

与式に　左辺　右辺


当てはめると


左辺は


07

右辺は

したがって


左辺　イコール　右辺



08

三角形　ABC　の　辺BC　の

中点を　M　とすれば


次の　等式が　成り立つことを　

証明せよ



09

AB=a AC=ｂ と置いて

左辺を　内積の　絶対値　2乗で　

表すと



10


右辺は　Mは　中点だから

Aを　中心の　分点座表


と


BC　ベクトルの　半分



11


AMの　絶対値　2乗は


12

こんなで


13
BM　の　絶対値　2乗は

こんなだから



14

左辺　＝　右辺



15

四辺形　ABCD　の　対角線　AC　、BD　の　中点を


それぞれ　M,N　とすれば


次の　等式が　成り立つことを　証明せよ



16

個々の　味噌は

中点の　M　、N　の　半分づつを

u,v

に設定するところ


それから

右　したの　四角内　の　足し算


左辺を　逐次

ぐるぐると　足し算で

ヴェクトルを　作って


絶対値　2乗していくと



17

気持ちは　焦るんだけど

後で　自分で　見たときに

写し間違えしないよう


しっかりと　文字を書きながら



18

逐次　絶対値　2乗を　計算して


19

BCの絶対値　2乗は


20

こんな感じで


21

CDは


22

こんな感じで


23

CDの次は　AD


24

こんな感じで



25

出そろったところで



26

左辺を　全部　足すと



27

左辺が　出たところで

右辺も



28

逐次　計算して　

左辺　＝　右辺



29

三角形の　頂角　を　求める問題


読んでいただいて




30

二等辺三角形だよ


これはさ

わかんなくて　悩んだんだな


条件式の　左辺の　それぞれを

二乗してみようか


泣けるな　だいじょうかや




（　中トロ　鉄火　行ってみよう）

大好きな　先輩に　

お寿司屋さんに　連れてってもらって

どうしていいかわかんなくてさ

先輩が　（　・・・・・！）


冗談は　ともかく



31

三角関数は　すぐ　難しい感じになっちゃってな


32

こっちも行ってみないと



思い出しています

ミヤシタ　お前も　何かたのめよ


しょうがないな

味噌汁　二つ


兎も角　こっちも　二乗してさ


33

二つ出て来て



34

これから　どう展開して行くんだろう

三角形

二等辺　三角形　だから　暗黙の了解で


二乗だから　ルートを　とって


条件式が　なんか　計算できそうな形に



35
どうやって　

あのとき　ピンチを　抜け出せたか

よく覚えてないな


はらはら　しちゃった


冗談は　ともかく


三角関数を　一つに　まとめたい


どうやって　合成　するんだったかな


36

この　サインが　マイナス　の　時の　公式を

使って　コサインに　合成すると

ベータは

45度


37

たまに出てきたときに　　使えないと

やばいんだよ


38

計算したらば

頂角は　30度



39

四辺形　ABCD　の　平面上の

任意の点　P　に対して

常に　

次の　等式が　成り立つとき

四辺形は　どんな　形か




40

大体　こういう問題は

平行四辺形　とか　・・・


位置ベクトルで

考えて


それぞれの　ベクトルの　部品を

作って



41


式が　2乗だから

絶対値　2乗　の内積を　計算して



内積は　こんなだったから


もう一回　確認しておいて



42


ソレゾレ


内積の　絶対値　2乗　の　計算もとは


43

与式を　こんな感じに　変形して

代入して

ソレゾレ　計算　（展開して行きますと）


44
こんな感じで



45

整理して


46

計算結果が

➀


47

➀式を　使って

ｘ　は　任意でいいので

都合のいいとこを　代入してみると


0の時

�A


48

さらに　左辺の　絶対値　2乗になるように

計算してみると



49

絶対値　2乗が　＝０から

�B



�Bを　変形して

ｄの　絶対値　2乗を　計算すると



50

�C


51

ここで

�B式より

BA =CD　が　言えるので

平行四辺形である



52

さらに　特殊な場合を　加味して

隣辺が　垂直かどうかを


調べるのですが


もし垂直ならば

長方形であるんですが


長方形だとしたらば



53

隣辺の内積が　�D式になる


54

�A�C式より　式変形して行くと



55

�D式の　値が　0になることがわかるので



56

ナタメ

長方形です。





はらはら　する展開に　ついいつ知れず

面倒見　の良かった　先輩を　思い出していました


先輩は　ロシア歌曲が　好きなんだってねぇー

仕事の歌　かっこいいだ



真似してみようと思って

yuotube見ながら　歌詞　を　追っかけてみたけど


オタマジャクシは

悠々と　ゆっくり　泳いでるのに

つかめないんだね



今ン頃　ごちそう様




（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）