ていへんかけるたかさわるに

0 時起床.

本を読む.
プラトン『国家』.
詩 (創作) における「真似」について語られる.
ここで提示されている画家の喩えによれば, 画家が寝椅子を描くとき, それは寝椅子の本質 (イデア) そのものを描くのではなく, 大工の作った寝椅子 (制作された寝椅子) を見えたままに描くのである.
したがって寝椅子の本質ではなく, 作られた一つの寝椅子の真似をする者に過ぎないのであり, 寝椅子の本質については何もわかっていないというのである.
これはプラトンの芸術に対する見方の一面を表わしている.

それから数学をやる.
関手の随伴からモナドが導かれるという補題の証明を読む.
そのようなモナドの例として, 集合の圏 $\mathbf{Set}$ と点付き集合の圏 $\mathbf{Set_*}$ の間の随伴
\begin{equation*}
\xymatrix@=24pt {
\mathbf{Set} \ar@<1ex>[r]^{(-)_+}_{~}="L"
& \mathbf{Set_*} \ar@<1ex>[l]^{U}_{~}="R"
\ar@{~} "L";"R" |{\bot} }
\end{equation*} から導かれるモナド (maybe monad) が挙げられている.
ここで, 関手 $(-)_+ : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set_*}$ は集合 $A$ と関数 $f : A \rightarrow B$ に対して, 集合 $A_+$ と関数 $f_+ : A_+ \rightarrow B_+$ を
\begin{align*}
A_+ & = A\amalg\{A\}, \\
f_+(a) & = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
B & (a=A)
\end{cases}
\end{align*} によって定義するものである. $A\amalg\{A\}$ は集合 $A$ と集合 $\{A\}$ の直和を表わす.
各々の unit $\eta_A : A \rightarrow A_+$ は包含写像として, 積 $\mu_A : (A_+)_+ \rightarrow (A_+)$ は
\begin{equation*}
\mu_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a=A\text{ or }a=A\amalg\{A\})
\end{cases}
\end{equation*} として定義される.
なお, $(-)_+$ の定義より, $(A_+)_+=(A\amalg\{A\})_+=A\amalg\{A\}\amalg\{A\amalg\{A\}\}$ である.
このとき, モナドが満たすべき図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=24pt {
((A_+)_+)_+ \ar[d]_{\mu_{A_+}} \ar[r]^{(\mu_A)_+} & (A_+)_+ \ar[d]^{\mu_A} \\
(A_+)_+ \ar[r]_{\mu_A} & A_+
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{\eta_{A_+}} \ar[dr]_{1_{A_+}}
& (A_+)_+ \ar[d]^{\mu_A}
& A_+ \ar[l]_{(\eta_A)_+} \ar[dl]^{1_{A_+}} \\
& A_+ &
}
\end{equation*} は可換になる.

次に群論の復習をする. 練習問題の計算を行う.
4 次の対称群 $S_4$ の正規部分群を求める問題.

午後までやって区切りを付ける.

さすがに疲れた.
そのせいだろうか, 気分が沈んできた.

気力を絞って銀行の ATM まで行く.
一週間分の生活費をおろす.

買い物に出かける.
野菜や肉を買う.

鬱が苦しい.
自分が日々やっていることには何の意味も価値も無いという思いが浮かんでくる.
こういうのは辛い.

帰宅して頓服を飲み少し休む.

夕方に食事.
麻婆豆腐とご飯.

頓服が効いてきたためか, 鬱は少しよくなった.

片付けをして布団に入る.