ていへんかけるたかさわるに

Emily Riehl の教科書 を読んで, 圏論を最初から勉強し直している. この本は記述も新しく, 例もいろいろ載っていて読むのが楽しい.
やっと米田の補題まで辿り着いたので, 自分の覚え書きのためにもう一度基本的な概念をまとめておこうと思う.

定義 (自然変換). 圏 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ と関手 $F, G : \mathrm{C} \rightrightarrows \mathrm{D}$ に対する 自然変換 (natural transformation) $\alpha : F \Rightarrow G$ は以下から構成される.

1. ・各対象 $c \in \mathrm{C}$ に対して, $\mathrm{D}$ の射 $\alpha_c : Fc \rightarrow Gc$ が与えられている. これを自然変換 $\alpha$ の 構成要素 (component) と呼ぶ.


2. ・$\mathrm{C}$ の任意の射 $f : c \rightarrow c'$ に対して, $\mathrm{D}$ 内の射からなる図式
   \begin{equation*}
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   \begin{xy}
   \xymatrix {
   Fc \ar[r]^{\alpha_c} \ar[d]_{Ff} & Gc \ar[d]^{Gf} \\
   Fc' \ar[r]_{\alpha_{c'}} & Gc'
   }
   \end{xy}
   \end{equation*} は可換である. すなわち
   \begin{equation*}
   \alpha_{c'} \cdot Ff = Gf \cdot \alpha_c
   \end{equation*} が成り立つ.
   

関手 $F, G : \Mr{C} \rightrightarrows \Mr{D}$ 間の自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$ を
\begin{equation*}
\xymatrix {
\Mr{C} \ar@/^10pt/[r]^F_{~}="F" \ar@/_10pt/[r]_G^{~}="G" & \Mr{D} \ar@{=>}"F";"G"^{\alpha}
}
\end{equation*}
のように書く.

例. 体 $\Bbbk$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ を考える. これは双対空間 $V^*=\Hom(V,\Bbbk)$ と次のようにして同型となる. まず, $V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ をとって固定する. これに対して $e^*_1,\dots,e^*_n \in V^*$ を
\begin{equation*}
e^*_i(e_j) = \begin{cases}
1 & (i = j), \\
0 & (i \neq j)
\end{cases}
\end{equation*} と定義すれば $e^*_1,\dots,e^*_n$ は $V^*$ の基底となる. これにより, ベクトル空間の同型 $V \simeq V^*$ が得られる. ここで, 写像 $\Mr{ev}_V : V \rightarrow V^{**}=\Hom(V^*,\Bbbk)$ を, 各 $v \in V$ に対して
\begin{equation*}
\Mr{ev}_V(v)(f) = f(v) \qquad (f : V \rightarrow \Bbbk \in V^*)
\end{equation*} と定義する. これにより $\Bbbk$ 上の任意の有限次元ベクトル空間 $V$ に対する $V$ からその二重双対空間 $V^{**}$ への線形写像の族 $\{ \Mr{ev}_V : V \rightarrow V^{**} \mid V \in \Vect_{\Bbbk} \}$ が構成される. ここで $\Vect_{\Bbbk}$ は $\Bbbk$ 上の有限次元ベクトル空間と線形写像のなす圏である. 任意の線形写像 $\phi : V \rightarrow W$ に対して図形
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
V \ar[r]^{\Mr{ev}_V} \ar[d]_{\phi} & V^{**} \ar[d]^{\phi^{**}} \\
W \ar[r]_{\Mr{ev}_W} & V^{**}
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. この意味を整理してみる. 写像 $\phi : V \rightarrow W$ に対して, $\phi^* : W^*=\Hom(W,\Bbbk) \rightarrow V^*=\Hom(V,\Bbbk)$ は, $g : W \rightarrow \Bbbk \in W^*$ に対して
\begin{equation*}
\phi^*(h) = h\phi : V \rightarrow \Bbbk \in V^*
\end{equation*} として定義される. さらに $\phi^{**} : V^{**}=\Hom(V^*,\Bbbk) \rightarrow W^{**}=\Hom(W^*,\Bbbk)$ は, $h : V^* \rightarrow \Bbbk$ に対して
\begin{equation*}
\phi^{**}(h) = h\phi^* : W^* \rightarrow \Bbbk \in W^{**}
\end{equation*} として定義される.

そこで上記の可換図式の左下の合成射と右上の合成射とを計算してみる. 任意の $v \in V$ に対して, 左下の射 $\Ev_W\phi(v)$ と右上の射 $\phi^{**}\Ev_V(v)$ は共に $W^{**}=\Hom(W^*,\Bbbk)$ の元を与える. $k : W \rightarrow \Bbbk \in W^*$ に対して左下の射は
\begin{equation*}
(\Ev_W\phi(v))(k) = (\Ev_W(\phi(v)))(k) = k(\phi(v)) = k\phi(v)
\end{equation*} となる. 一方右下の射は
\begin{equation*}
(\phi^{**}\Ev_V(v))(k) = (\phi^{**}(\Ev_V(v)))(k) = (\Ev_V(v)\phi^*)(k) = \Ev_V(v)(\phi^*(k)) = \Ev_V(v)(k\phi) = k\phi(v)
\end{equation*} となり, 左下の射と等しい. よって上記の図式は可換であり, 射の族 $\{ \Ev_V : V \rightarrow V^{**} \mid V \in \Vect_{\Bbbk} \}$ は自然変換 $\Ev : \Un{\Vect_{\Bbbk}} \Rightarrow (-)^{**}$ を構成する.

定義 (自然変換の垂直合成 (vertical composition). $F,G,H$ をそれぞれ圏 $\rC$ から圏 $\rD$ への関手とし, $\alpha : F \Rightarrow G$, $\beta : G \Rightarrow H$ を自然変換とする.
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
\rC \ar@/^18pt/[r]^F_{~}="F" \ar[r]|G^{~}="G1"_{~}="G2" \ar@/_18pt/[r]_H^{~}="H" & \rD \ar@{=>}"F";"G1"^{\alpha} \ar@{=>}"G2";"H"^{\beta}
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\alpha$ と $\beta$ の 垂直合成 (vertical composition) $\alpha\cdot\beta$ が
\begin{equation*}
(\alpha\cdot\beta)_c = \alpha_c\beta_c \qquad (c \in \ob(\rC)) \\
\begin{xy}
\xymatrix {
Fc \ar[r]_{\alpha_c} \ar@/^15pt/[rr]^{(\alpha\cdot\beta)_c} & Gc \ar[r]_{\beta_c} & Hc
}
\end{xy}
\end{equation*} によって定義される.

定義 (自然変換の水平合成 (horizontal composition). $F,G : \rC \rightarrow \rD$, $H,K : \rD \rightarrow \rE$ を関手とし, $\alpha : F \Rightarrow G$, $\beta : H \Rightarrow K$ を自然変換とする.
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
\rC \ar@/^10pt/[r]^F_{~}="F" \ar@/_10pt/[r]_G^{~}="G" & \rD \ar@/^10pt/[r]^H_{~}="H" \ar@/_10pt/[r]_K^{~}="K" \ar@{=>}"F";"G"^{\alpha} & \rE \ar@{=>}"H";"K"^{\beta}
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, 対象 $c \in \rC$ に対して 4 つの射
\begin{gather*}
(H\alpha)_c = H(\alpha_c), \qquad (K\alpha)_c = K(\alpha_c), \\
\begin{xy}
\xymatrix {
HFc \ar[r]^{(H\alpha)_c} & HGc & KFc \ar[r]^{(K\alpha)_c} & KGc
}
\end{xy} \\
(\beta F)_c = \beta_{Fc}, \qquad (\beta G)_c = \beta_{Gc}, \\
\begin{xy}
\xymatrix {
HFc \ar[r]^{(\beta F)_c} & KFc & HGc \ar[r]^{(\beta G)_c} & KGc
}
\end{xy}
\end{gather*} が定義される.

ここで, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
HFc \ar[r]^{(\beta F)_c=\beta_{Fc}} \ar[d]_{(H\alpha)_c=H(\alpha_c)} & KFc \ar[d]^{(K\alpha)_c=K(\alpha_c)} \\
HGc \ar[r]_{(\beta G)_c=\beta_{Gc}} & KGc
}
\end{xy}
\end{equation*} を考えると, $\beta : H \Rightarrow K$ が自然変換だからこれは可換図式となる.

実は $H\alpha, K\alpha, {\beta F}, {\beta G}$ はそれぞれ自然変換になっている. これは次のようにしてわかる.

まず, $\rC$ 内の射 $f : c \rightarrow c'$ に対して $\rD$ 内の図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
Fc \ar[r]^{\alpha_c} \ar[d]_{Ff} & Gc \ar[d]^{Gf} \\
Fc' \ar[r]_{\alpha_{c'}} & Gc'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. $\alpha$ が自然変換だから, これを関手 $H, K : \rD \rightarrow \rE$ で変換した $\rE$ 内の図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
HFc \ar[r]^{H(\alpha_c)=(H\alpha)_c} \ar[d]_{HFf} & HGc \ar[d]^{HGf} \\
HFc' \ar[r]_{H(\alpha_{c'})=(H\alpha)_{c'}} & HGc'
}
\end{xy}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
KFc \ar[r]^{K(\alpha_c)=(K\alpha)_c} \ar[d]_{KFf} & KGc \ar[d]^{KGf} \\
KFc' \ar[r]_{K(\alpha_{c'})=(K\alpha)_{c'}} & KGc'
}
\end{xy}
\end{equation*} も可換である. これにより, $H\alpha : HF \Rightarrow HG$, $K\alpha : KF \Rightarrow KG$ が自然変換であることがわかる.

一方, $\rD$ 内の射 $g : d \rightarrow d'$ に対して, $\rE$ 内の図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
Hd \ar[r]^{\beta_d} \ar[d]_{Hg} & Kd \ar[d]^{Kg} \\
Hd' \ar[r]_{\beta_{d'}} & Kd'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. $\beta$ が自然変換だから, これは可換である. ここで, $d=Ff : Fc \rightarrow Fc'$ とおいた図式と $d=Gf : Gc \rightarrow Gc'$ とおいた図式を考えると, 2 つの可換図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
HFc \ar[r]^{\beta_{Fc}=(\beta F)_c} \ar[d]_{HFf} & KFc \ar[d]^{KFf} \\
HFc' \ar[r]_{\beta_{Fc'}=(\beta F)_{c'}} & KFc'
}
\end{xy}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
HGc \ar[r]^{\beta_{Gc}=(\beta G)_c} \ar[d]_{HGf} & KGc \ar[d]^{KGf} \\
HGc' \ar[r]_{\beta_{Gc'}=(\beta G)_{c'}} & KGc'
}
\end{xy}
\end{equation*} が得られる. よって ${\beta F} : HF \Rightarrow KF$, ${\beta G} : HG \Rightarrow KG$ は自然変換である.

先に挙げた可換図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
HFc \ar[r]^{(\beta F)_c} \ar[d]_{(H\alpha)_c} & KFc \ar[d]^{(K\alpha)_c} \\
HGc \ar[r]_{(\beta G)_c} & KGc
}
\end{xy}
\end{equation*} において,
\begin{equation*}
\beta\ast\alpha = K\alpha \cdot {\beta F} = {\beta G} \cdot H\alpha
\end{equation*} と書き, これを $\alpha : F \Rightarrow G$ と $\beta : H \Rightarrow K$ の 水平合成 (horizontal composition) と呼ぶ.