パプリカ2020の部屋

次の３つの実数Ａ、Ｂ、Ｃの大小関係を不等号で表せ。
Ａ＝100!　　　　Ｂ＝2^600　　　　　Ｃ＝50^100
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2の冪乗の形が好きなので、Ｃを2の冪乗の形にします。
Ｃ＝(2×25)^100
　　＜(2×32)^100
　　　＝(2×2^5)^100
　　　＝(2^6)^100
　　　＝2^600
　　　＝Ｂ
∴Ｃ＜Ｂ

次にＡです。Ａもなんとか冪乗の形にもっていきます。
Ａ＝100!
　＝1×2×3×・・・×100
　＝(50−49)×(50−48)×・×50×・・×(50＋48)×(50＋49)×100
　＝(50−1)×(50＋1）×(50−2)×(50＋2)×・・・×(50−49)×(50＋49)×50×100
　＝(50^2−1)×(50^2−2^2)×・・・×(50^2−48^2)×(1×99)×50×(2×50）
　　＜(50^2−1)×(50^2−2^2)×・・・×(50^2−48^2)×(100)×50×(2×50）
　　　＝(50^2−1)×(50^2−2^2)×・・・×(50^2−48^2)×(2×50)×50×(2×50)
　　　＝(50^2−1)×(50^2−2^2)×・・・×(50^2−48^2)×50×50×50×4
　　　　＜50^2　　×50^2　 　×・・・ ×50^2　　　 ×50×50×50×50
　　　　　＝50^96×50×50×50×50
　　　　　＝50^100
　　　　　＝Ｃ
∴Ａ＜Ｃ

したがって　Ａ＜Ｃ＜Ｂ　【100! ＜ 50^100 ＜ 2^600】//



【おまけ】
pはp≧5の素数。
p^3をp−4で割ったときの余りが4のとき、pの値は？
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p^3をp−4で割ってみます。
p^3/(p−4)＝(p^2＋4p＋16)＋64/(p−4)

64/(p−4)に着目します。
ここの割り算で4余る必要があります。
したがって60/(p−4)が割り切れなければなりません。
また、余りが4ですからp−4は5以上でなければなりません。
60の5以上の約数は、5、6、10、12、15、20、30、60です。
したがってp−4＝5、6、10、12、15、20、30、60
ゆえにp＝9、10、14、16、19、24、34、64になります。

ところで題意からpはp≧5の素数なので、p＝19//

【検算】
p^3＝19×19×19＝361×19＝6859、これをp−4である15で割ると
6859÷15＝457・・・4//