スローライフの森　数１　＆　自家菜園

制限変域　における　最大・最小。

01

問題

次の　制限変域があるとき

与えられた　2次関数の　最大値・最小値

を　求めよ
。

02

与えられた　式形式は

一般形

一般形では　頂点は

分からないけれども


外に　一般形ならではの

分かるとこがあるじゃ

ナイスカ


ｘ　の　2次係数は

グラフの　開き具合

正ならば　上に　開いて　下に　凸

値が　大きいほど　開きが　狭くなる


負なら　下に　開いて　上に　凸




定数項は　グラフが　ｙ軸を　切る点の

ｙ座標　（　ｙ切片　）


ｘ　の　1次の係数は

グラフの　ｙ切片における

接線の　傾き



ナタメ

グラフの　アバウトな　イメージは

こんなですか

03



グラフは　x　の変域に　制限が

かかってるので

頂点の　座標が　どこか調べると

04


頂点の座標は

制限　変域の　内側にある



05


二次関数のグラフは

頂点の　ｘ　座標が

対象軸　（センター　）



一応　ｘ　軸との　交点を　見て

概形を　描くと



06



右側が

制限変域一杯

左側は

もうすこし　上に

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最大値は　

制限変域　左　いっぱいで

　　　　10


最小値は

グラフの頂点で

　　　　-9/4


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次は　4次関数なんですが

今回は

置き換えを　使って

二次関数に　して

解いてね

という問題


で　最小値は？


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置き換えの　2次関数を

標準形にしたら

頂点が出る


それと


2次関数に　表現するときに

置き換えたところを

普通の　ｘ、ｙの　時の様に　考えれば

10

ｙ　を　ｔ　に

しただけなのだから


ｔ　の取りえる　値の範囲は

-4　以上

11

つまり

ｔ＞＝-4　の制限変域で

置き換えの　関数の　最小値を

見ればいいのだから

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うまく　2次関数に置き換えられれば

オーけー

平方完成

の要領で

まえを　そして

後ろを　調整すれば

13

なんか　見えてきたでしょ

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頂点が


ｔ　−　ｙ　グラフで

頂点がの座標が

制限変域の　外にある

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有効なとこまで

来て


最小値を　計算すると

-4

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るいだい


イメージを

大体　把握しておいて

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頂点と　制限変域を

見ると

グラフのセンターは　左よりなので

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最大値は

頂点で

-5/2

最小値は

制限変域　右　いっぱいの時に

-7

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るいだい

絶対値が付いてる

20

絶対値　だけならば　


ｘ軸を　対称に　折り返しで

ｘ軸より　上になるのですが


絶対値の外に　しっぽ　があるので


グラフは　たんに　折り返しとはいかないで




ゼロ以上と　ぜろ未満に　分けて

ゼロ以上は　そのまま　外して


ぜろ未満は　絶対値に　（　）　を　つけて

全体を　マイナス



範囲は　ゼロ以上　の時　ぜろ未満の時で

不等式を　解いて


制限変域と　照らし合わせて


21

そんなかんなを　やって

22

まとめると

制限変域があるときに

➀　と　�A　に　なる

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➀の時から

2次関数の　定数項が　-1

だから

ｙ切片が　-1


ｘの　1次の係数が　+1　だから

y切片の

グラフの接線が　右上がり　傾き1


ｘの2次の係数が　正なので

上に開いて

下に　凸


これを　満たす　形と言うか

配置は　こんな感じだから

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頂点も出して

それと　制限変域の　左　右　　の値

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もう一つの　ポイントの　値


絶対値　だけのグラフ　ならば　

ｘ軸より　上にしかないはずだけど


絶対値の　外にも

ｘ　がいる為


実際に　ポイントを　入れて見ないと

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�Aの方も

ｙ切片


傾き　


開き具合

から

こんな感じで


これに　範囲が　ついてくるから

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で　制限変域は　端を　含まず

なんですが


一様　限りなく　その値に

近いはずであるため

目標値的な意味合いで

極限的に　この値に限りなく近い


で

ポイントをン代入しています。

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左の　グラフになってですよ

最大値　最小値が　でたと

29

次は

4次関数の　最小値を　求める問題で

W　みたいな　形状　似ている　

と思われますが




もしも

これが　いきなり　筆記で　出てきたら

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4次関数の　微分で解くか


2次関数に　置き換えが　効くか見て

2次関数の　最小値で　解くか


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しかしですね

今見てるのは

数�Tの参考書

微分は　出てないので

置き換えで解くのでした

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こんな感じに　置き換えると

2次関数に　化けるでしょ

しかし　化けましたよ　の

制限変域が付いてくるから




シンデデラ　だってさ



しんで　出ら　？

あー　キリストにある　死者が　はじめに

蘇り



今日は　お化けじゃなくてさ

それに　あれは

御使いのように

なるっていう話で



シンデデラが


　12時過ぎまで

遊んでると　

馬車が　かぼちゃに

なっちゃうから

早く帰ってきなさいよとかさ





（　ｔ　＝　ってとこが　）

ｔ＝の　2次関数は

下に頂点の　ある　グラフ

だから　した限界がある


何かの映画で

した限界を　守れ

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置き換えの　2次関数の

した限界は

-13/4で


計算で　確認して

これでいいと思い

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それが

重大な　間違いだ


した限界を　守れ


えーと

どこかな

-5/2　は　ｘ軸なので

ｔ軸の方

（普段は　ｙのとこがですよ）


-25/4

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-25/4　の外側に　-13/2

がいるので

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tが　-25/4　の時が　最小になる

今度は　ｔは　

普段　ｘ　軸　のとこだから

tの2次関数に　代入したらば

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最小値は

-51/16



お疲れ様です。

　

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