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2019年12月05日

修正 06018 対数不等式(2)

 

 ☂の日の スローライフ の 森    




 3.1シー




対数不等式(2)


01

対数不等式の 問題です

行ってみましょう。

まず

暗黙の条件が 真数 底 など

HPNX0001.JPG


02

それと お膳立てで

対数のグラフは

底の 値の範囲によって

グラフの 形状が 単調減少

と 単調増加 になるので




真数が x軸の 正の方向に 向かって

いくつか並んでいるときに

グラフの 形状で

不等式の 大小が 逆転することがある
HPNX0002.JPG

03


こんな感じに

真数の大きさは x軸の正の方向に A,B,の

順に 大きいとして

グラフの 形状で

yの値 ログは 変わるでしょ




ログの 値で くらべたとしたら

ログを 外したときに

真数の 大小が 逆転するときがあるでしょ
HPNX0003.JPG
04


ここのところを

グラフから 見て 考えれば よくわかるんだけど


参考書とかには

言い方を 少し変えて

書いてあることが多く


分かるかな

底が 0<底<1


の時は

対数を 外して 真数に すると

大小が 逆転する
HPNX0004.JPG

05

底が1<底 の時は

対数を 外して
 
真数の大小にしても

大小関係は 変わらない
HPNX0005.JPG

06

ナタメ

対数不等式は

底をそろえて

対数比較から

対数を 外すときに


底の値の 範囲によって

不等号の 向きが 変わるかどうか

考える


これを 踏まえまして
HPNX0006.JPG
07

まず 与式の 真数から

真数条件を 満たす 共通範囲を 

出すでしょ
HPNX0007.JPG
08

次に

対数不等式を

四角で 囲んである 形に 持ち込んで
HPNX0008.JPG
09

底が同じだから

対数を 外して

真数の 大小を 見るんだけど


底の 値の 場合分けを 考えて
HPNX0009.JPG

10

まず 不等号の 向きが 変わってしまう場合から

対数を 外すときに

不等号の向きを 変えて 外すでしょ
HPNX0010.JPG

11

不等式を 解いた答えと

真数条件から

対数が

単調減少の ときは こんな感じ
HPNX0011.JPG

12


ちなみに
近似値を 

√のさ

こんなだっけ


HPNX0012.JPG
13


次に


単調増加のグラフに なる場合

底が 1 < 底

の時は
HPNX0013.JPG
14


対数を 外したときに

底が おなじだから外して かまわないよね


この値の 底の時は

不等号の向きが そのまま
HPNX0014.JPG
15

答えは

場合分けを して

こんな感じで

HPNX0015.JPG
16


次は
HPNX0057.JPG
17

両辺の 対数を とるのだけれど

底は aがよさそうだと
HPNX0017.JPG
18

式変形で

まとめてくと

HPNX0018.JPG
19

左辺は 二乗


右辺は 掛け算の 形から 足し算に


HPNX0019.JPG
20

少し 簡単になったとこで


塊で 置き換えて



真数条件の 確認しておいて

HPNX0020.JPG

21

底の 値の範囲で

場合分けで


まず 不等号の 向きが 変わる場合から


不等号の 向きを 変えて計算するでしょ
HPNX0021.JPG

22

不等式を解いて

HPNX0022.JPG
23

置き換えを もとに 戻すと


対数が 入ってきて


対数を 外すとき

また

不等号の 向きが変わって

HPNX0023.JPG
24

こんな感じ


数学は 0とか 1の 周辺は

徐行エリアです
HPNX0024.JPG

25

次に

底が 1<底で 対数を 外しても 向きが 


変わらないとき

そのままの時は

HPNX0025.JPG
26

こんな感じのところで


置き換えを 戻して

HPNX0026.JPG

27

対数が 出て来て
HPNX0027.JPG

28

ここで

対数を 外しても

不等号の 向きは おなじ
HPNX0028.JPG

29



答えは こんなです
HPNX0029.JPG

30

類題


底が みんな同じだけれども

文字なので

場合分けが必要


暗黙の 条件があるでしょ
HPNX0030.JPG

31

まず 真数の 共通領域
HPNX0031.JPG
32

底が 0<底<1 の時

まず 不等式を

まとめていって


対数を 外すと


単調減少のグラフなので

不等式の 向きが変わるでしょ
HPNX0032.JPG

33

不等式を 解いて
HPNX0033.JPG
34

真数条件と 重ねて

底が 0 < a < 1の時

こんな感じ
HPNX0034.JPG

35

底が 1< a のとき

単調増加のグラフで

対数を 外しても

真数の 大小が そのままな場合
HPNX0035.JPG
36

不等式の 解と 真数条件を重ねて


こんな感じで
HPNX0036.JPG

37
なので

場合分けを 書いて

こうですか
HPNX0037.JPG
38

次は


これはさ

ちょっと 悩んでしまって


現役の 人は ぱっとできると思いまが


もう 現役から

30 数年 経ってますもんで


ちょっと 待ってくれる

分かんない

えーと








では 行ってみましょー

ここまでにですよ




かなり 間があります



現役の 皆様 

私に なんか 負けちゃだめですよ

現役の 皆様は 勉強のプロなんだからさ

スポンサーだってついてんでしょ



独自に 研究してる

いいスポンサーが 付くといいですね

冗談は ともかく

HPNX0038.JPG


39

常用対数を 使って


底変換で 底を揃え
HPNX0039.JPG
40



左辺に集めて


通分して
HPNX0040.JPG

41


因数分解できるから
HPNX0041.JPG
42

条件から

logaは 正

んん
HPNX0042.JPG

43

分かった

これはさ

分数不等式だからさ

こうでしたよ
HPNX0043.JPG
44

公式に 当てはめて

連立すると こうでしょ
HPNX0044.JPG
45

まず 分母の 条件から

計算するでしょ
HPNX0045.JPG

46

そしたら

xは1ではない
HPNX0046.JPG
47

ちょっと 整理して


Aの 分母の条件から

xは 1ではない
HPNX0047.JPG

48

分母と 分子を 掛け合わせた 不等式のほうは


もう少し 簡単になって

HPNX0048.JPG
49
不等式だから 不等号の向きに

ちゅういしながら

進んでくと


logxが 負の時

0<x<1
HPNX0049.JPG

50
logx 負で

辺々割って


不等号の向きが変わり



logx と loga

負と 正の 値なんですが

絶対値は どっちが大きいか 分かんない


しかし

後ろの 括弧は 全体が 負になるので


前の カッコ内は 

HPNX0050.JPG

51

後ろかっこ内が 負で


前かっこ  後ろかっこ  掛けたものが


正になるためには


前かっこ内が 負でないと まずので
HPNX0051.JPG

52

そうすると

こんなですか

HPNX0052.JPG

53

x>1の時は

logxが 正になるので
HPNX0053.JPG
54


さっきみたいに


省いても

不等号の向きは そのまま


前かっこが 正で


前かっこ 後ろかっこを 掛けると

負になる


なので

後ろかっこは 負にならないとまずい
HPNX0054.JPG

55

今回は 常用対数で

底が 10 なので

対数を 外しても 不等号の向きは 変わらない
HPNX0055.JPG
56

こんな感じで
HPNX0056.JPG

お疲れ様です。


posted by matsuuiti at 08:49| Comment(0) | TrackBack(0) | 数1
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