2019年12月06日
06019 不等式の証明 (対数）
☂の日の スローライフ の 森
3.1シー
不等式の証明 (対数）
01
不等式の 証明は
大小比較なので
差を取って
対数の大小比較から ⇒ 真数の大小比較
では行ってみましょう
02
左辺に 集めるでしょ
これが
＞＝0 を言えばいいのだから
03
底は 全部２なので
単調増加のグラフ 対数を外しても
真数の大小も変わらない
足し算を 対数の掛け算で まとめて
04
対数特有の
底と真数が 同じ時は 1になるを使って
３を 対数に 取り込んで
05
さらに 中かっこの中身を
まとめて
06
ここで
相加平均 ・ 相乗平均 の定理 と言うのが
あったじゃナイスカ
07
まず なを 言えば 証明に 成るか
立ち止まって 再確認してですよ
08
左辺の
3っつの括弧を
ソレゾレ 相加平均 ・ 相乗平均
を 使って 式を作って
09
これらは
みんな 正の値なので
そのまんま
掛け合わせても
不等号の向きは 変わらないから
掛け合わせて
部品を 作るでしょ
10
それで
右辺を
もう少し まとめて
なんか 似てきたでしょ
そうすると
3連括弧の中身が
一番小さいときに
8abcと等しいのだから
3連括弧が 大きくなるにつれて
右辺より 大きくなるので
0より 大きいが 証明できて
等号成立は a=b=c の時
11
成り立ちました
12
類題を
13
左辺―右辺＝Pとして
これが 0以上を 言えばいいのだから
14
底は ３で 単調増加のグラフ
15
対数の 大小は
真数の大小で 比較
16
対数を 外したとき
今回は 不等号の向きは そのまま
17
真数の計算を
展開して
整理すると
18
全部 括弧2乗になるので
実数の二乗は 0以上
を使って
19
こんな感じで
成り立ちますよ
20
次は
左 中 右
この大小関係が
成り立つことを 証明するんですが
21
ブロックに 分けて
底は １０ なので
単調増加のグラフ
対数を 外したときの 真数の大小関係も
変わらず
22
それぞれの ブロックを
計算して
もう少しまとめてから
23
まず 中辺―左辺
24
真数で
計算していって
実数の括弧二乗に持ち込んだので
これで
良いでしょ
25
右辺―中辺
Q'が 0以上を 証明するんですが
ｃは 2以上なので
26
cが ２ の とき 以上 の値になるのだから
ｃ＞＝２ で
右辺側を 計算してきますと
27
ね
右辺側
って こういうことなんだけど
計算してくと
28
2連括弧 になって
題意より
左 括弧は 正
右かっこを 分析してくと
29
題意からの 条件を 使って
式を 変形して
いじってくでしょ
30
このさ 紙面 右側で
作った 部品をさ
右かっこの分子に入れて見ると
31
なので
ここまでの 流れを
見てくと
32
こんな感じに
33
不等式なので
等号成立は
a=b=1の時
34
これで
全部 並べたときに
左 ＜＝ 中＜＝ 右
35
もう1問あった
36
差を取って
サー
え いいから やってって
はい
37
因数分解から
場合分けで
aが ｂ以上の時
オッケイ
38
aが b未満の時 の時
オッケイで
等号成立は a=bの時
お疲れ様でした。
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