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2019年12月27日

06020 大人のさび落とし 対数の 最大 最小

 

 ☂の日の スローライフ の 森    




 3.1シー



大人のさび落とし

対数の 最大 最小

01
問題
HPNX0001.JPG
02

x 、y は 真数でもあるので

0よりおおきい

条件式を 使って

4y = にしたところで

yは 0よりおおきいので

極限的にy=0 を 代入して

それより大きいはず


そうしたら

x の 範囲が 出て来ました
HPNX0002.JPG
03

今度は

さっきの 条件から

yを xの式で 表してHPNX0003.JPG
04

与式 が 最大になるとこを 求めるのに

= P として

xの2次関数 P の 最大値を

探っていくと

HPNX0004.JPG
05

xy のところが
 
yをxの式で 表したものを

代入するので

xの 2次方程式になって


( 対数の 底は 1より大きいので

単調増加のグラフ )

HPNX0005.JPG
06

真数の 最大に切り替えたので

Q= として


二次関数の 形状を 見ていくと

HPNX0006.JPG
07


整理して

真数で 最大を 見て


yをxの式に して 代入して

xの2次関数にして

頂点を求めると


形状から

最大値 75/4
HPNX0007.JPG
08

頂点の x座標は

x=5

0 から 10 の 範囲内

なので オーケー


グラフは x=5を 対象軸に

左右対称だから

グラフの 一般形で

y切片が 0 だったので

こんな感じ
HPNX0008.JPG
09

こんなんでは ないけど

わざと 合成して

イメージすると



対数の 単調増加の グラフに対して

真数の 最大値が x=5の時なので

x=5の時の 真数は 75/4
HPNX0009.JPG
10


y=のしきに x=5を代入して

y=15/4


x=5 y=15/4

を 条件式に 代入すると

オッケイなので

よし


最大値は log75/4

HPNX0010.JPG

11
問題

HPNX0011.JPG
12

2数の 和の最小値 と 来たので

相加平均・相乗平均

を おもいだして


計算するために 底を 揃えて


x、yは 1より大きい変数なので

真数だけでなく 底にも x、y 

が使われているので

グラフは 上の方 単調増加のグラフ

HPNX0012.JPG

13

ログ だと スペルが

長いので

t とでも置き換えて
HPNX0013.JPG
14



相加平均・相乗平均を 

計算すると

右辺が 数字に 成ったので

2が 最小値


そのときの tは
HPNX0014.JPG
15

xも yも 1より大きい⇒

底に関しては 単調増加のグラフ


真数に関しては1より大きい時は


対数の値が 0より 大
HPNX0015.JPG

16

なので

等号成立は x=yの時で

最小値は 2
HPNX0016.JPG


17

問題
HPNX0017.JPG

18

まず 真数条件から

xの範囲を 調べると


5より 大きく 25未満
HPNX0018.JPG

19

公式で

けつごうして
HPNX0019.JPG
20

真数が xの 2次関数に 成ってきて

グラフの

頂点を 出すでしょHPNX0020.JPG


21

グラフの 頂点が 

xの変域内なので

そこが 最大値HPNX0021.JPG
22

真数の 最大値を 代入して

x=15の時

最大値 2
HPNX0022.JPG
23


問題
HPNX0023.JPG
24


これも 


さっきみたいに 行くんかいな

行ってみましょう
HPNX0024.JPG
25


公式で

結合して

ここまでは 順調だ


真数の 大小に 切り替えて

底が 2だからさ
HPNX0025.JPG
26


真数全体を =k と置いて


分母は

常に正なので

払って
HPNX0026.JPG
27

特別な時

k=1の時は

x=1/2
HPNX0027.JPG
28


kが 1でないとき


2次方程式の 解が 実数解を

持つように

判別式を 使って 


HPNX0028.JPG
29
因数分解
HPNX0029.JPG
30

kは 1/2 以上 2以下
HPNX0030.JPG


31
ちょっと

整理して
HPNX0031.JPG
32


対数の グラフは 単調増加なので

真数の範囲が出てくると

こっちが 最小に なるはず

k=1/2の時

x=2



になったので

x=2の時 真数の式全体が 1/2で 最小値


HPNX0032.JPG
33



こっちが 最大に なるはず

k=2の時
HPNX0033.JPG


34


x= -1


になったので

x=−1の時


真数の式全体が 2で 最大になる
HPNX0034.JPG
35

グラフにすると

真数を 構成してる xの2次式が

x=-1 の時

真数全体が 1/2

で 最小


真数を 構成している xの2次式が

x=2の時  

真数全体で 2で 最大値

HPNX0035.JPG
36


なので

真数 1/2  と 2 の時の

対数を 計算すると


最小値は -1

HPNX0036.JPG
37


最大値は 1
HPNX0037.JPG
38


問題
HPNX0038.JPG
39

式変形を

与式に 近い形のを

持ってきて
HPNX0039.JPG
40

実際に

計算してくと

こんな感じなんですが

HPNX0040.JPG





41
なるんですよ
HPNX0041.JPG
42

で これを 使って

条件式を 代入するでしょ
HPNX0042.JPG
43


中かっこの中身は

実数の2乗は 0以上を使って

0または正の値だから


この計算は 200以下

HPNX0043.JPG
44
与式の 値に ついて 見てみると

最大値は

100以下

最大値が
 
出てしまいましたよ
HPNX0044.JPG
45

ところで

最大値は 出たけれど

その時の x、y、z の値を 知りたいので


相加平均・相乗平均を使って


等号成立の時は


こうだから
HPNX0045.JPG
46


さらに =k と置いて
HPNX0046.JPG


47

x=y=z=√k
HPNX0047.JPG
48


条件式に 入れて


x=y=z=10/3 の時


最大値 になり
HPNX0048.JPG
49

最大値は

HPNX0049.JPG
50


2
HPNX0050.JPG



51

問題
HPNX0051.JPG
52


まず 対数の 底を 揃えて

小さいほうに 揃えるでしょ
HPNX0052.JPG
53
ジョークなしには いられませんため

土木作業とは 違うけどさ

宮下さん てーらに して

俺は クリスチャンだからさ

だから 平らに 


あー
HPNX0053.JPG
54


和尚さんに よろしくって 言っといてね

昔は ずいぶんお世話になったからさ




これこれを 最小に する x、yの値を

だからにして


=kと置けばじゃナイスカ









HPNX0054.JPG
55


さらに

置き換えを つかってー 

        t



tの2次方程式

HPNX0055.JPG
56


2次方程式の 解が 実数解を 持つには

なんでしたっけね


そーです

判別式がじゃナイスカ
HPNX0056.JPG
57


これで

最小値が でたも同然
HPNX0057.JPG
58


すごい答えだな

普段こなの つかわないからさ


だいじょだって
HPNX0058.JPG
59


最小値は  8乗根2分の1
HPNX0059.JPG
60

これで 答えではなく手でっすよ

その時の x、yの値を

求めよ

やーねー 値よ値


小学校とかの 同窓会で

顔が分かんない人 いるでしょ


今日は 違います。

で じゃナイスカ


kを 最小値を 代入して
HPNX0060.JPG



61

tの2次方程式を 解くと

t=1/4
HPNX0061.JPG
62


yは 4乗根2
HPNX0062.JPG
63


xは
HPNX0063.JPG
64


8乗根2
HPNX0064.JPG
65

なので

こんな いかめしい 答えになって

ショックですか


崩すと 

しょっかー?

イー!
HPNX0065.JPG




失礼しました。
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