2019年12月27日
06020 大人のさび落とし 対数の 最大 最小
☂の日の スローライフ の 森
3.1シー
大人のさび落とし
対数の 最大 最小
01
問題
02
x 、y は 真数でもあるので
0よりおおきい
条件式を 使って
4y = にしたところで
yは 0よりおおきいので
極限的にy=0 を 代入して
それより大きいはず
そうしたら
x の 範囲が 出て来ました
03
今度は
さっきの 条件から
yを xの式で 表して
04
与式 が 最大になるとこを 求めるのに
= P として
xの2次関数 P の 最大値を
探っていくと
05
xy のところが
yをxの式で 表したものを
代入するので
xの 2次方程式になって
( 対数の 底は 1より大きいので
単調増加のグラフ )
06
真数の 最大に切り替えたので
Q= として
二次関数の 形状を 見ていくと
07
整理して
真数で 最大を 見て
yをxの式に して 代入して
xの2次関数にして
頂点を求めると
形状から
最大値 75/4
08
頂点の x座標は
x=5
0 から 10 の 範囲内
なので オーケー
グラフは x=5を 対象軸に
左右対称だから
グラフの 一般形で
y切片が 0 だったので
こんな感じ
09
こんなんでは ないけど
わざと 合成して
イメージすると
対数の 単調増加の グラフに対して
真数の 最大値が x=5の時なので
x=5の時の 真数は 75/4
10
y=のしきに x=5を代入して
y=15/4
x=5 y=15/4
を 条件式に 代入すると
オッケイなので
よし
最大値は log75/4
11
問題
12
2数の 和の最小値 と 来たので
相加平均・相乗平均
を おもいだして
計算するために 底を 揃えて
x、yは 1より大きい変数なので
真数だけでなく 底にも x、y
が使われているので
グラフは 上の方 単調増加のグラフ
13
ログ だと スペルが
長いので
t とでも置き換えて
14
相加平均・相乗平均を
計算すると
右辺が 数字に 成ったので
2が 最小値
そのときの tは
15
xも yも 1より大きい⇒
底に関しては 単調増加のグラフ
真数に関しては1より大きい時は
対数の値が 0より 大
16
なので
等号成立は x=yの時で
最小値は 2
17
問題
18
まず 真数条件から
xの範囲を 調べると
5より 大きく 25未満
19
公式で
けつごうして
20
真数が xの 2次関数に 成ってきて
グラフの
頂点を 出すでしょ
21
グラフの 頂点が
xの変域内なので
そこが 最大値
22
真数の 最大値を 代入して
x=15の時
最大値 2
23
問題
24
これも
さっきみたいに 行くんかいな
行ってみましょう
25
公式で
結合して
ここまでは 順調だ
真数の 大小に 切り替えて
底が 2だからさ
26
真数全体を =k と置いて
分母は
常に正なので
払って
27
特別な時
k=1の時は
x=1/2
28
kが 1でないとき
2次方程式の 解が 実数解を
持つように
判別式を 使って
29
因数分解
30
kは 1/2 以上 2以下
31
ちょっと
整理して
32
対数の グラフは 単調増加なので
真数の範囲が出てくると
こっちが 最小に なるはず
k=1/2の時
x=2
になったので
x=2の時 真数の式全体が 1/2で 最小値
33
こっちが 最大に なるはず
k=2の時
34
x= -1
になったので
x=−1の時
真数の式全体が 2で 最大になる
35
グラフにすると
真数を 構成してる xの2次式が
x=-1 の時
真数全体が 1/2
で 最小
真数を 構成している xの2次式が
x=2の時
真数全体で 2で 最大値
36
なので
真数 1/2 と 2 の時の
対数を 計算すると
最小値は -1
37
最大値は 1
38
問題
39
式変形を
与式に 近い形のを
持ってきて
40
実際に
計算してくと
こんな感じなんですが
41
なるんですよ
42
で これを 使って
条件式を 代入するでしょ
43
中かっこの中身は
実数の2乗は 0以上を使って
0または正の値だから
この計算は 200以下
44
与式の 値に ついて 見てみると
最大値は
100以下
最大値が
出てしまいましたよ
45
ところで
最大値は 出たけれど
その時の x、y、z の値を 知りたいので
相加平均・相乗平均を使って
等号成立の時は
こうだから
46
さらに =k と置いて
47
x=y=z=√k
48
条件式に 入れて
x=y=z=10/3 の時
最大値 になり
49
最大値は
50
2
51
問題
52
まず 対数の 底を 揃えて
小さいほうに 揃えるでしょ
53
ジョークなしには いられませんため
土木作業とは 違うけどさ
宮下さん てーらに して
俺は クリスチャンだからさ
だから 平らに
あー
54
和尚さんに よろしくって 言っといてね
昔は ずいぶんお世話になったからさ
で
これこれを 最小に する x、yの値を
だからにして
=kと置けばじゃナイスカ
55
さらに
置き換えを つかってー
t
tの2次方程式
56
2次方程式の 解が 実数解を 持つには
なんでしたっけね
そーです
判別式がじゃナイスカ
57
これで
最小値が でたも同然
58
すごい答えだな
普段こなの つかわないからさ
だいじょだって
59
最小値は 8乗根2分の1
60
これで 答えではなく手でっすよ
その時の x、yの値を
求めよ
やーねー 値よ値
小学校とかの 同窓会で
顔が分かんない人 いるでしょ
今日は 違います。
で じゃナイスカ
kを 最小値を 代入して
61
tの2次方程式を 解くと
t=1/4
62
yは 4乗根2
63
xは
64
8乗根2
65
なので
こんな いかめしい 答えになって
ショックですか
崩すと
しょっかー?
イー!
失礼しました。
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