スローライフの森　数１　＆　自家菜園

　

　☂の日の　スローライフ　の　森 　　　




　3.1シー

大人のさび落とし

対数の　最大　最小

01
問題

02

ｘ　、ｙ　は　真数でもあるので

0よりおおきい

条件式を　使って

４ｙ　＝　にしたところで

ｙは　0よりおおきいので

極限的にｙ＝０　を　代入して

それより大きいはず


そうしたら

ｘ　の　範囲が　出て来ました

03

今度は

さっきの　条件から

ｙを　ｘの式で　表して
04

与式　が　最大になるとこを　求めるのに

＝　P　として

ｘの2次関数　P　の　最大値を

探っていくと


05

ｘｙ　のところが
　
yをｘの式で　表したものを

代入するので

ｘの　2次方程式になって


（　対数の　底は　1より大きいので

単調増加のグラフ　）


06

真数の　最大に切り替えたので

Q＝　として


二次関数の　形状を　見ていくと


07


整理して

真数で　最大を　見て


ｙをｘの式に　して　代入して

ｘの2次関数にして

頂点を求めると


形状から

最大値　75/4

08

頂点の　ｘ座標は

ｘ＝５

0　から　10　の　範囲内

なので　オーケー


グラフは　ｘ＝５を　対象軸に

左右対称だから

グラフの　一般形で

y切片が　０　だったので

こんな感じ

09

こんなんでは　ないけど

わざと　合成して

イメージすると



対数の　単調増加の　グラフに対して

真数の　最大値が　x＝5の時なので

ｘ＝5の時の　真数は　75/4

10


ｙ＝のしきに　ｘ＝5を代入して

ｙ＝15/4


ｘ＝５　ｙ＝15/4

を　条件式に　代入すると

オッケイなので

よし


最大値は　log75/4



11
問題


12

2数の　和の最小値　と　来たので

相加平均・相乗平均

を　おもいだして


計算するために　底を　揃えて


ｘ、ｙは　1より大きい変数なので

真数だけでなく　底にも　ｘ、ｙ　

が使われているので

グラフは　上の方　単調増加のグラフ



13

ログ　だと　スペルが

長いので

ｔ　とでも置き換えて

14



相加平均・相乗平均を　

計算すると

右辺が　数字に　成ったので

2が　最小値


そのときの　ｔは

15

ｘも　ｙも　1より大きい⇒

底に関しては　単調増加のグラフ


真数に関しては1より大きい時は


対数の値が　0より　大


16

なので

等号成立は　ｘ＝ｙの時で

最小値は　２



17

問題


18

まず　真数条件から

ｘの範囲を　調べると


5より　大きく　25未満


19

公式で

けつごうして

20

真数が　ｘの　2次関数に　成ってきて

グラフの

頂点を　出すでしょ


21

グラフの　頂点が　

ｘの変域内なので

そこが　最大値
22

真数の　最大値を　代入して

x＝15の時

最大値　２

23


問題

24


これも　


さっきみたいに　行くんかいな

行ってみましょう

25


公式で

結合して

ここまでは　順調だ


真数の　大小に　切り替えて

底が　2だからさ

26


真数全体を　＝ｋ　と置いて


分母は

常に正なので

払って

27

特別な時

k＝1の時は

ｘ＝1/2

28


ｋが　1でないとき


2次方程式の　解が　実数解を

持つように

判別式を　使って　



29
因数分解

30

kは　1/2　以上　2以下



31
ちょっと

整理して

32


対数の　グラフは　単調増加なので

真数の範囲が出てくると

こっちが　最小に　なるはず

ｋ＝1/2の時

ｘ＝２



になったので

x＝2の時　真数の式全体が　1/2で　最小値



33



こっちが　最大に　なるはず

k＝2の時



34


ｘ＝　-1


になったので

x＝−1の時


真数の式全体が　2で　最大になる

35

グラフにすると

真数を　構成してる　ｘの2次式が

ｘ＝-1　の時

真数全体が　1/2

で　最小


真数を　構成している　ｘの2次式が

ｘ＝2の時　　

真数全体で　２で　最大値


36


なので

真数　1/2　　と　2　の時の

対数を　計算すると


最小値は　-1


37


最大値は　１

38


問題

39

式変形を

与式に　近い形のを

持ってきて

40

実際に

計算してくと

こんな感じなんですが







41
なるんですよ

42

で　これを　使って

条件式を　代入するでしょ

43


中かっこの中身は

実数の2乗は　0以上を使って

0または正の値だから


この計算は　200以下


44
与式の　値に　ついて　見てみると

最大値は

100以下

最大値が
　
出てしまいましたよ

45

ところで

最大値は　出たけれど

その時の　ｘ、ｙ、ｚ　の値を　知りたいので


相加平均・相乗平均を使って


等号成立の時は


こうだから

46


さらに　＝ｋ　と置いて



47

ｘ＝ｙ＝ｚ＝√ｋ

48


条件式に　入れて


ｘ＝ｙ＝ｚ＝10/3　の時


最大値　になり

49

最大値は


50


2




51

問題

52


まず　対数の　底を　揃えて

小さいほうに　揃えるでしょ

53
ジョークなしには　いられませんため

土木作業とは　違うけどさ

宮下さん　てーらに　して

俺は　クリスチャンだからさ

だから　平らに　


あー

54


和尚さんに　よろしくって　言っといてね

昔は　ずいぶんお世話になったからさ


で

これこれを　最小に　する　ｘ、ｙの値を

だからにして


=kと置けばじゃナイスカ










55


さらに

置き換えを　つかってー　

　　　　　　　　ｔ



tの2次方程式


56


2次方程式の　解が　実数解を　持つには

なんでしたっけね


そーです

判別式がじゃナイスカ

57


これで

最小値が　でたも同然

58


すごい答えだな

普段こなの　つかわないからさ


だいじょだって

59


最小値は　　8乗根2分の１

60

これで　答えではなく手でっすよ

その時の　ｘ、ｙの値を

求めよ

やーねー　値よ値


小学校とかの　同窓会で

顔が分かんない人　いるでしょ


今日は　違います。

で　じゃナイスカ


ｋを　最小値を　代入して




61

ｔの2次方程式を　解くと

ｔ＝1/4

62


yは　4乗根２

63


xは

64


8乗根２

65

なので

こんな　いかめしい　答えになって

ショックですか


崩すと　

しょっかー？

イー！





失礼しました。