2019年12月04日
06018 対数不等式 （２）
☂の日の スローライフ の 森
3.1シー
対数不等式（２）
01
対数不等式の 問題です
行ってみましょう。
まず
暗黙の条件が 真数 底 など
02
それと お膳立てで
対数のグラフは
底の 値の範囲によって
グラフの 形状が 単調減少
と 単調増加 になるので
真数が ｘ軸の 正の方向に 向かって
いくつか並んでいるときに
グラフの 形状で
不等式の 大小が 逆転することがある
03
こんな感じに
真数の大きさは x軸の正の方向に A,B,の
順に 大きいとして
グラフの 形状で
yの値 ログは 変わるでしょ
で
ログの 値で くらべたとしたら
ログを 外したときに
真数の 大小が 逆転するときがあるでしょ
04
ここのところを
グラフから 見て 考えれば よくわかるんだけど
参考書とかには
言い方を 少し変えて
書いてあることが多く
分かるかな
底が 0＜底＜１
の時は
対数を 外して 真数に すると
大小が 逆転する
05
底が1＜底 の時は
対数を 外して
真数の大小にしても
大小関係は 変わらない
06
ナタメ
対数不等式は
底をそろえて
対数比較から
対数を 外すときに
底の値の 範囲によって
不等号の 向きが 変わるかどうか
考える
これを 踏まえまして
07
まず 与式の 真数から
真数条件を 満たす 共通範囲を
出すでしょ
08
次に
対数不等式を
四角で 囲んである 形に 持ち込んで
09
底が同じだから
対数を 外して
真数の 大小を 見るんだけど
底の 値の 場合分けを 考えて
10
まず 不等号の 向きが 変わってしまう場合から
対数を 外すときに
不等号の向きを 変えて 外すでしょ
11
不等式を 解いた答えと
真数条件から
対数が
単調減少の ときは こんな感じ
12
ちなみに
近似値を
√のさ
こんなだっけ
で
13
次に
単調増加のグラフに なる場合
底が １ ＜ 底
の時は
14
対数を 外したときに
底が おなじだから外して かまわないよね
この値の 底の時は
不等号の向きが そのまま
15
答えは
場合分けを して
こんな感じで
16
次は
17
両辺の 対数を とるのだけれど
底は aがよさそうだと
18
式変形で
まとめてくと
19
左辺は 二乗
右辺は 掛け算の 形から 足し算に
20
少し 簡単になったとこで
塊で 置き換えて
真数条件の 確認しておいて
21
底の 値の範囲で
場合分けで
まず 不等号の 向きが 変わる場合から
不等号の 向きを 変えて計算するでしょ
22
不等式を解いて
23
置き換えを もとに 戻すと
対数が 入ってきて
対数を 外すとき
また
不等号の 向きが変わって
24
こんな感じ
数学は 0とか １の 周辺は
徐行エリアです
25
次に
底が 1＜底で 対数を 外しても 向きが
変わらないとき
そのままの時は
26
こんな感じのところで
置き換えを 戻して
27
対数が 出て来て
28
ここで
対数を 外しても
不等号の 向きは おなじ
29
答えは こんなです
30
類題
底が みんな同じだけれども
文字なので
場合分けが必要
暗黙の 条件があるでしょ
31
まず 真数の 共通領域
32
底が 0＜底＜１ の時
まず 不等式を
まとめていって
対数を 外すと
単調減少のグラフなので
不等式の 向きが変わるでしょ
33
不等式を 解いて
34
真数条件と 重ねて
底が 0 ＜ a ＜ 1の時
こんな感じ
35
底が １＜ a のとき
単調増加のグラフで
対数を 外しても
真数の 大小が そのままな場合
36
不等式の 解と 真数条件を重ねて
こんな感じで
37
なので
場合分けを 書いて
こうですか
38
次は
これはさ
ちょっと 悩んでしまって
現役の 人は ぱっとできると思いまが
もう 現役から
３０ 数年 経ってますもんで
ちょっと 待ってくれる
分かんない
えーと
で
では 行ってみましょー
ここまでにですよ
かなり 間があります
現役の 皆様
私に なんか 負けちゃだめですよ
現役の 皆様は 勉強のプロなんだからさ
スポンサーだってついてんでしょ
え
独自に 研究してる
いいスポンサーが 付くといいですね
冗談は ともかく
39
常用対数を 使って
底変換で 底を揃え
40
左辺に集めて
通分して
41
因数分解できるから
42
条件から
logaは 正
んん
43
分かった
これはさ
分数不等式だからさ
こうでしたよ
44
公式に 当てはめて
連立すると こうでしょ
45
まず 分母の 条件から
計算するでしょ
46
そしたら
ｘは1ではない
47
ちょっと 整理して
②の 分母の条件から
ｘは 1ではない
48
分母と 分子を 掛け合わせた 不等式のほうは
もう少し 簡単になって
49
不等式だから 不等号の向きに
ちゅういしながら
進んでくと
logｘが 負の時
0＜ｘ＜1
50
logｘ 負で
辺々割って
不等号の向きが変わり
logｘ と loga
負と 正の 値なんですが
絶対値は どっちが大きいか 分かんない
しかし
後ろの 括弧は 全体が 負になるので
前の カッコ内は
51
後ろかっこ内が 負で
前かっこ 後ろかっこ 掛けたものが
正になるためには
前かっこ内が 負でないと まずので
52
そうすると
こんなですか
53
x＞1の時は
logｘが 正になるので
54
さっきみたいに
省いても
不等号の向きは そのまま
前かっこが 正で
前かっこ 後ろかっこを 掛けると
負になる
なので
後ろかっこは 負にならないとまずい
55
今回は 常用対数で
底が １０ なので
対数を 外しても 不等号の向きは 変わらない
56
こんな感じで
お疲れ様です。
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