スローライフの森　数１　＆　自家菜園

２点間の距離に関して




いきなり

問題

３点があって

話と違うじゃナイスカ


A,B,C、　があって

座標が　与えられてるんだね


で

A、B、C、から

等距離にある　点Pの　座標を　求めなさい








先輩にも　昔言われたことがあって

いきなりとか　

無理やりってのは　いけねー

と　いうわけで

２点間の距離は

座標が　ある　平面の時

ｘ、ｙ　が座標が　分かってると

ABだけ　見てると

線分なんだけど

座標が　分かってるので

補助線を　書くと


直角三角形ができるので


ピタゴラスの　定理で

２辺の　二乗の　和は　斜辺の　２乗に　等しいから

ABの　距離ならば

両辺　ルートを　とれば







出てくるんだけど

今回は

ここまで　やらずに

一歩手前で　手を　休めて


AB二乗の形で

三点から

等距離にあるを

式に　してですよ









二づつ　組んで

３点と　等距離に　なる様に






等式を　作るんだけど

私が

こんがらがるといけないので


部品を　組み立てて


AP(斜辺）の　二乗は

ｘの　差分の　二乗　+　ｙの　差分の　二乗


なのだから











BPの方も

線分BPを　座標に　補助線を入れて

三角形にして

斜辺の　二乗（　BPの二乗）は

ｘの差分の二乗　+　ｙの差分の二乗


で

これらが　　等しいのが

一個めの　等式








これを　整理してくと

うまいこと　ｘと　ｙの　二乗のところが　

消去できて

➀







3点から　等距離を　いうために

もう一組

等式が　必要で

今度は　BP二乗と　CP二乗


BP二乗は

今計算してあるから









CP二乗を　計算して







BP二乗　＝　CP二乗


から

�A








➀�Aの　二つの　式が出てきたので

これから

ｘ、ｙ、を　








�Aヲ2倍して

➀と足せば


ｙの項が　消去できて

ｘだけの式








X=　1となれば

どっちかの式に　ｘ＝１を　代入すればだから

➀に代入すると









ｙ＝-3で



pは　（1、-3）







今度は

Pではなくて

別に　Q点があって


この点は

ｘ軸上の　点なんだって

AQ二乗+BQ二乗が　最小になる

Qの座標を　求めよ









可能性は

色々とあるのだけれど

一番　最小になるとこが欲しいと

線分AQとかBQの　二乗は

座標で　来てますので

補助線を　書いて

三角形で　考えれば

斜辺　（AQ,とか　BQの　二乗は　)　の二乗は

ｘの差分の二乗　　＋　　ｙの差分の二乗

（　他の二辺の　二乗の　和に　）









ここで

味噌なのが


Qは　ｘ軸上の点なので　y座標は　常に０

だから　Q（ｘ、0）


たまに　問題を　解いてると

自分でも

あ　何だっけ

二乗するからさ

マイナスが　消えるんだけど

差分を　作るときに　マイナスに　なるのは

どう説明するんだっけな



距離だから

絶対値で　考えて


基準からの　距離だから

マイナスに　ずれても　プラスに　ずれても

基準に　なる　位置からどれだけ　離れてるか

だから　　正の値





直線上で

考えれば

具体的に　数字を　入れてでしょ


右から　引いても

左から　引いても

二点間が　どれだけ　離れてるかの

そのなんだ　距離は　同じだからさ


絶対値を　つける



２点間の距離ならば

座標上で

+-　があっても

絶対値を　つけて　距離を

正で　表すけど

計算で　今回は　二乗なので

絶対値を　つけずに　括弧二乗で

済んでしまうので







話を　元に戻して

AQの二乗　BQの二乗を　計算して

Q(ｘ、０）　が　味噌ですよ









でてきた　式を　足し合わせて

最小値を探ると

式を　整理したら

ｘの　2次関数になって

このグラフは

下に凸で　上に　開いてるから

頂点が　最小になる


標準形に　変形すると







xが　５が　頂点

ここが　最小値







Qは　X軸上の　点だから　y座標は　０


Q(5,0）









次は　2点から　等しい

点を　


直線

ｘ+２ｙ＝1　上に　求めよ






2点　（１，１）　（５，３）

から　等しい距離になる点を　求めると

直線状に　存在するはずじゃナイスカね


ということは

直線の式が　出現して

2直線の　交点を　求める問題に　なると







２点を　A（１，１）　B(５，３）　として

等距離に　ある点を　M（ｘ、ｙ）　として


AMの二乗　　BMの二乗

を　計算して








これがさ

イコールでないと　いけないんだから

等距離なぁ〜んだ　か〜らさ


そしたら

直線の　式に　なって出てきたよ







普段慣れてる形に　書き換えると

ｙ＝-２ｘ+8






最初から　あるほうは

ｙ＝-1/2ｘ　+　1/2

計算するときは


ここまで

しなくても






前の　段階で

連立にして


これってさ

一番　初めの　3点から　等しい　P点を　求めよの

類題だよね


X=5






ｙ＝-2


x＋2y＝1　上の　点は　（5、-2）





次は

線分ABを　一辺に　する

正三角形が　あるんだって

他の頂点を　求めなさい

ヒント　A(-2,-1)

B(1,2)








頂点の　座標を　P（ｘ、ｙ）　とするでしょ


正三角形は　三辺の　長さが　等しいのだから


まず

ABの　二乗を　出してきて




APの二乗　　BPの二乗　

が

ABの二乗と　等しいことから

ABの二乗＝18




連立方程式が出て来て

➀式と







BPの二乗＝18

�A式







で

ここで困っては　ならないのですが

連立2次方程式は

数学の道具なので

これはさ

４パターンくらい　解く方法が　あるんだけど

その中の

でれが　つかえるか

ぱっと　分かれば　しめたもので


引き算で

2次の　項を　消去して




ｘ＝−ｙ


これを　➀に代入したら








解の公式で





ｙが　二つ





ｘ＝−ｙだから

括弧して

外に　マイナスでしょ







並べておいて

一個一個　に　すると


こんな感じで


しばらく　やってなかったので

やばかったですね






次行ってみましょう

今度は　ひし形なんだけど

座標に　縦横　直角では　ないようですよ







なので

４辺が　等しいことから

等式の　組を　3組作る作戦で

部品を　作ってくと

AB二乗







BC二乗

CD二乗






DA　二乗






これらを

3組の　等式に　して

連立して　解いてくと







➀からa=1または5


�Aからb＝9または5






これを　�B式を整理した　�B’に







a=1

で　代入してくと

ｂ＝５

a=５のときは

ｂ＝9


�B式を　満たしているので








答えは　2通り







最後は

三角形の　3点の座標が　与えられてます

この三角形は　なに？


三辺　OA　AB　BO　を　順次　2乗の形で

求めてみたら






しばらくお待ちください







こんな感じで

比を　とったら

1：1：√２　

これなんだ











お疲れ様です。




（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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