パプリカ2020の部屋

0％と見たら俄然挑戦したくなってしまいました。


図のように各点をA、B、C、D、Pとします。


AOCは直径なので
AC＝5×2＝10



∠ADCは直径AOCの円周角なので直角です。
直角�僊CDの2辺の長さが分かるので、三平方の定理を使って
AD＝sqrt(10^2−6^2)＝8

�僊PDは2等辺三角形なので
AP＝8
ゆえにPC＝2

ここで�僊CDの面積Sは
S＝6×8÷2＝24
�僖ACにおいてDから直径ACに垂線を下ろし交点をTとします。
この垂線DTの長さLは、
S＝24＝10×L÷2
ゆえにL＝4.8

直角�僂DTにおいて辺CTの長さは、三平方の定理を使って
CT＝sqrt(6^2−(4.8)^2)＝(1/10)sqrt(60^2−48^2)
　　＝(1/10)sqrt(3600−2304)
　　＝(1/10)sqrt(1296)
　　＝(1/10)sqrt(4^2×9^2)
　　＝(1/10)×36
　　＝3.6



したがってTPの長さは
TP＝3.6−2＝1.6

�僖PTにおいて、PDの長さは三平方の定理を使って
PD＝sqrt(1.6^2＋4.8^2)
　　＝(1/10)sqrt(16^2＋48^2）
　　＝(16/10)sqrt(1＋3^2）
　　＝(8/5)sqrt(10)



∠PBA＝∠PCD(弧ADの円周角)
∠PAB＝∠PDC(弧BCの円周角)
∠BPA＝∠CPD(対頂角)
したがって�僊PB∽�僖PC

ゆえに以下の関係が成り立つ
X：PC＝PA：PD
X＝PC×PA/PD

これに数値を代入すると
X＝2×8/((8/5)sqrt(10))
　　＝10/sqrt(10)
　　＝10sqrt(10)/10
　　＝sqrt(10)

ゆえに
　X＝sqrt(10)

です。