パプリカ2020の部屋

x^2−x＋1＝0・・・�@　の解をα
x^2＋x−1＝0・・・�A　の解をβ
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１　αβを解に持つ4次方程式をひとつ
２　その４解の平方の和


あっさりα、βと書いてありますが、２次方程式の解なので解は2づつあります。
α→a、b
β→m、n
と4つの解を置きます。

�@と�Aを4つの解のa、b、m、nで表すと
�@は（x−a)(x−b）＝0
�Aは（x−m)(x−n）＝0　です。

�@は
x^2−（a＋b)x＋ab＝x^2−x＋1＝0　ですから
a＋b＝1
ab＝1　です。

�Aは
x^2−（m＋n)x＋mn＝x^2＋x−1＝0　ですから
m＋n＝−1
mn＝−1　です。

さて、「αβを解にもつ」ですから
解は、am、an、bm、bnの4つです。
したがって「αβを解に持つ4次方程式をひとつ」を
（x−am)(x−an)(x−bm)(x−bn）＝0　とします。

これは、
（x^2−a(m＋n)x＋a^2mn)(x^2−b(m＋n)x＋b^2mn）＝0　
ここで　m＋n＝−1、mn＝−1　ですから、上の式は

（x^2−a(−1)x＋a^2(−1))(x^2−b(−1)x＋b^2(−1)）＝0　
したがって
（x^2＋ax−a^2)(x^2＋bx−b^2）＝0

引き続きこれを展開します。
x^2(x^2＋bx−b^2)＋ax(x^2＋bx−b^2)−a^2(x^2＋bx−b^2）＝0

どんどん展開します。
x^2･x^2＋bx･x^2−b^2･x^2＋x^2･ax＋bx･ax−b^2･ax−x^2･a^2−bx･a^2＋b^2･a^2＝0

x^4＋bx^3−b^2x^2＋ax^3＋abx^2−ab^2x−a^2x^2−a^2bx＋a^2b^2＝0

x^4　＋ax^3＋bx^3　−a^2x^2−b^2x^2＋abx^2　−a^2bx−ab^2x　＋a^2b^2＝0

x^4　＋(a＋b)x^3　−(a^2＋b^2−ab)x^2　−ab(a＋b)x　＋(ab)^2＝0

「a^2＋b^2＝a^2＋2ab＋b^2−2ab＝(a＋b)^2−2ab」　だから
x^4　＋(a＋b)x^3　−((a＋b)^2−2ab−ab)x^2　−ab(a＋b)x　＋(ab)^2＝0

ここで
a＋b＝1、ab＝1　ですから
x^4　＋(1)x^3　−((1)^2−2−1)x^2　−1(1)x　＋(1)^2＝0

したがって
x^4＋x^3＋2x^2−x＋1＝0　となります//


次に
「その４解の平方の和」ですから
(am)^2＋(an)^2＋(bm)^2＋(bn)^2　を求めます。

これは
a^2(m^2＋n^2)＋b^2(m^2＋n^2)
＝(a^2＋b^2)(m^2＋n^2)
＝((a＋b)^2−2ab)((m＋n)^2−2mn)

ここで、
a＋b＝1、ab＝1、m＋n＝−1、mn＝−1　ですから

((a＋b)^2−2ab)((m＋n)^2−2mn)
＝((1)^2−2)((−1)^2−2(−1))
＝(−1)・(＋3)
＝−3//　です。

途中で計算間違いがあったらごめんなさい。
考え方はいい感じだと思いますので。