パプリカ2020の部屋

奮闘中の問題がようやく解けました。




奮闘していたのは下図の問題でした。




まず、中学数学は何処までか、を見極めます。
円周角と中心角の関係はOK。三平方の定理はOK。特別な三角形（直角、60°、30°）及び三角形（直角、45°、45°）の辺の比はOK。図形の相似はOK。円周率はπはOK。ということで、計算を始めます。
図中の長さの単位はcmですが、以下では単位を外して説明していきます。

�僊MPにおいて、２辺に挟まれた角が60°で、辺の比が1：2であることに気付きます。
これは、∠60°、∠30°、∠90°の角度をもつ直角三角形です。したがって、斜辺APは2sqrt(3)と計算できます。
弧ACの円周角である∠APCが直角なので、線分ACはこの円の直径になります。
また∠ABCも弧ACの円周角なので直角になります。

次に、∠AMP＝∠CMB＝60°であり、∠APM＝∠CBM＝90°なので、�僊MP∽�僂MBでその比は1：2です。したがって、辺BC＝4sqrt(3)です。

直角�僊BCにおいて三平方の定理より、円の直径ACが求まります。
AC＝sqrt(8^2＋4^2×3)＝4sqrt(7)です。

弧PBの円周角∠PAB＝30°なので、中心角は60°になります。
したがって�儕OBは一辺の長さが円の半径に等しい長さの正三角形です。

扇形POBの面積は円の面積の1/6になります。
扇形POBの面積＝(2sqrt(7))^2×π/6＝28π/6＝(14/3)π
正三角形POBの面積＝2sqrt(7)×sqrt(21)/2＝7sqrt(3)
よって、弧PBと線分PBで囲まれた部分の面積S1＝(14/3)π-7sqrt(3)

次に、�儕MBの面積＝�僊MPの面積＝S2（底辺が4で等しく、かつ高さが同じ）
ゆえに、S2＝2×2sqrt(3)/2＝2sqrt(3)
また、�僊MCの面積＝�僂MBの面積＝S3（底辺が4で等しく、かつ高さが同じ）
ゆえに、S3＝4×4sqrt(3)/2＝8sqrt(3)

したがって求める面積は、
半円の面積から、S1＋S2＋S3を引けば求まります。
半円の面積＝14πなので、求める面積をSとするとS＝14π−(S1＋S2＋S3)です。

それぞれに数値を代入すると
S＝14π−((14/3)π-7sqrt(3)＋2sqrt(3)＋8sqrt(3))
　＝(28/3)π−3sqrt(3)

単位を戻すと求める面積は
( (28/3)π−3sqrt(3) ) cm^2
となります。

メデタシめでたし

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次も高校入試問題で奮闘中です。



とっかかりを探しています。

　4^24　＜　5^24　＜　6^24　＜　8^24
　(2^2)^24＝2^48　→　2^48　＜　5^24
　8^24＝(2^3)^24＝2^72　→　5^24　＜　2^72

奮闘中です。