一人暮らしの様な理系　大学生

どうも！「一人暮らしの様な理系」です。
今回から「大学受験数学」について触れていきたいと思います。
第一回は「集合と命題」です。

「「集合と命題」ってA∩BとかA∪Bとかでしょ？　そんなの簡単だよ！」
という人もいると思いますが、ここでは実践的な使い方を書くつもりです。

ここから先は文が長くなるので、丁寧語などは控えさせていただきます。





変数ｘが全体集合Uに含まれていることを
ｘ∊U
と表し、これを満たす変数ｘを含む式p(x)があり
適当なx=x_0を代入したとき、p(x_0)の真偽が定まるならば
p(x)をx∊Uを変数とする命題関数という。

１．全称命題
「任意のx∊U, p(x)」
を全称命題という。次の言葉が問題文中に含まれていたら疑ってみるべきである。
「任意の、すべての、どの、どんな　etc」
この時は場合分けが発生することが、多くその中の強力な武器の一つとして「数学的帰納法」がある。

２．存在命題
「あるx∊Uが存在, p(x)」
を存在命題という。
「…が存在する。適当な…が選べて、少なくとも１つは存在してetc」
に注目する。この場合は、xをp(x)に当てはめる系が多く

平均値の定理、中間値の定理、鳩ノ巣原理etcがある。

ここで例題を載せておきます。しかし、答えは時間の都合上全てかけないので「方針」「答え」だけを置いておきます。多分このページを見に来てくれた方は、優秀な方だと思うので理解できるはずです。

例題
f(x) =(x-1)^3+x
f_1(x)=f(x)とし、　n≧２に対して
f_n(x)=f(f_n-1(x))とする
どんなn(≧1)についても,
f_n(x)=x の解はx=1に限ることを示せ。











「指針」
まずf(x)を描く。（y=x 上にy=x^3）が乗ったような感じになる。
x>1,x=1,x<1でf(x)>x,f(x)=x,f(x)1 ならば　f_n+1(x)=f(f_n(x))>f_n(x)>1」
が成り立つことがわかる。
そして「x>1ならばf_n(x)>x」を数学的帰納法で示す。

この問題は全称命題の問題です。存在命題の問題はよく見かける
サイコロの「出た目の最大値が〜である確率を求めなさい」
など市販のワークに載っているものが多いのでそちらを参考にしてください。

以上で今回の数学を終わります。

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タグ：数学 大学受験 集合と命題 高校数学 二次試験 理系

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