一人暮らしの様な理系　大学生

新型コロナウイルスが蔓延する中、PCR検査「別名ポリメラーゼ連鎖反応（Polymerase Chain Reaction）」というワードをよく耳にします。今回はこの内容を交えて、ベイズの定理を紹介します。

ここで次の例題を考えます。

ex：罹患率0.01%の病気について、
陽性かつ罹患である確率：98% 　陽性であり非罹患である確率：2%
陰性であり罹患である確率：2% 陰性であり非罹患である確率：80%

問　陽性と診断された場合本当に罹患している確率は？

別の言い方をするとすると、
「陽性と判断されたとき、本当にウイルスに感染している確率はどのくらいですか？」
です。

この重要な確率を求める方法こそ
ベイズの定理
です。

では本題に入りましょう。
ベイズの定理は「条件付確率」の式を変形して表すことができます。
条件付確率の具体的な式は

X:原因　Y:結果　として、

P(Y|X)=P(X∩Y)/P(Y)

ここで、P(Y|X)に抵抗がある方がいると思うので日本語でこの式を表現してみましょう。

P(Y|X):Xが起こった条件の下でYが起こる確率となります。
ここで先ほどの「条件付き確率」の式のXとYを交換します。

P(X|Y)=P(X∩Y)/P(X)
となります。

以上の2式からP(X∩Y)を消去すると、

P(X|Y)=P(Y|X)P(X)/P(Y)　X:原因　Y:結果
これがベイズの定理です！









式を見ただけで、意味が即座に分かる人はかなりの天才だと私は思います。
私含め大半の人は初見で

「え？」

となるはずです。なので、早速解説していきましょう！
先程
P(Y|X):Xが起こった条件の下でYが起こる確率
であることを言いました。となると

P(X|Y)は、「Yが起こった条件の下でXが起こる確率」であることを表しています。
ここで注目してほしいのは、ベイズの定理はこの
P(Y|X)とP(X|Y)どちらも含む式だということです！

つまり、過去に何があったかを今ある情報だけで確率を通して知ることができるのです！

数学界の「シャーロックホームズ」といったところでしょうか（笑）







この事実を用いて先ほどの例題を解いてみましょう！

ex：罹患率0.01%の病気について、
陽性かつ罹患である確率：98% 　陽性であり非罹患である確率：2%
陰性であり罹患である確率：2% 陰性であり非罹患である確率：80%

問　陽性と診断された場合本当に罹患している確率は？

解答
今求めたい確率は　P(罹|陽)　です。早速ベイズの定理を使いましょう！

P(罹|陽)=P(陽|罹)P(罹)/P(陽)
となるります。ここで条件より、

P(陽|罹)=0.98 P(罹)=0.001
P(陽)=0.001×0.98+(1-0.001)×0.20
=0.200078
よって
P(罹|陽)=0.98×0.001 /0.200078
=0.00048981

（答え）約0.05%

となります。







今回はベイズの定理について解説しました。分かりにくい部分もあるかもしれませんが、
ここまで読んでいただきありがとうございます。

今回はここまでとします。読んでいただきありがとうございました。
このブログでは「プログラミング」をはじめ様々な分野の記事がありますので
是非そちらもよろしくお願いします。
また、次回お会いしましょう。