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問題17　複素数三角不等式の証明 [高２★★★☆☆]　複素数 z = a + bi の絶対値は次のように定義されます：

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(1) 任意の複素数　z1, z2 について次の不等式を証明してください。

　　　　|z1|−|z2| ≦ |z1 + z2| ≦ |z1| + |z2|

(2) (1) の結果を用いて次の不等式を証明してください。

　　　　|z1 + z2 + ...... + zn| ≦ |z1| + |z2| + ...... + |zn|
[ヒント] (1) さえ証明できれば (2) は簡単ですが、使う道具が思い浮かばないと、どうしようもありません。この手の証明問題の定番ともいえる「あの方法」を使いますよ。
　　
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解答17(1)まずは右側の不等式

|z1 + z2| ≦ |z1|+|z2|　　　[a]
を証明してみましょう。まず z1 = 0, 或いは z2 = 0 のときは等号が成り立ちます。それ以外の場合は

z1 = a + bi, z2 = c + di
とおいて、右辺から左辺を引いた式