(1/x) においては、

- 1 ≦ 1/x ≦ 1
という不等式を解いておく必要があります。普通に解いてもいいのですが、x の正負によって不等号の向きを変えたりと、けっこう面倒な作業です。y = 1/x のグラフを使った解法をおすすめします。

　

　これで一目瞭然ですね。網掛けされた領域が許される範囲です：

x ≦ - 1, 1 ≦ x
　つまり、 y = arcsin(x) では - 1 ≦ x ≦ 1 という極めて狭い範囲で定義されていた関数が、x ⇒ 1/x と変数変換することによって、区間 [-1, 1] を除く全実数範囲で定義される関数になります。
　次は y = arcsin(x) の微分を求めます（公式として覚えている学生さんは、ここを飛ばして次のステップに進んでください）。

x = siny
の形から始めると簡単です。両辺を y で微分すると

dx/dy = cosy
ここで逆正弦関数の主値（値域）が - pi/2 ≦ y ≦ pi/2 であることに注意すると、

cosy ≧ 0
が保証されています。したがって

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となります。よって

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と