任意の関数 a(x) に 1 / x を加えた関数を扱います。

漸近線を挟んで上凸、下凸の関数が並びます　最初は a(x) = x 3 を選んで、

y = x 3 + 1 / x
のグラフを描いてみます：

　

　漸近線 x = 0 を挟んで上凸、下凸の関数が並んでいますね。
x = 0 付近では 1 / x の項が強く効くので、y ≒ 1 / x として振る舞いますが、x が少し大きくなる 1 / x の効果は減衰して y ≒ x 3 となります。具体的に計算してみると x = 3 で

　　a(3) = 3 3 = 27,　y(3) = 3 3 + 1 / 3 = 27.333

　となりますから、この段階で y と x 3 の誤差は僅かに 0.333 です。
グラフ上の青い点線は a(x) = x 3 です。x の大きいところで y と a(x) は重なってゆくことが見てとれると思います。

指数関数と重なります　次は a(x) = exp(x) です：

　

　exp(x) は増加が早いので、この関数もすぐに exp(x) と重なります。

振動は止められて深い谷底へ落ちていきます　a(x) に三角関数を選んだらどうなるでしょうか ......