る実数に対して上の式が成り立ちます。

a 1 の 1 を 正の整数 m で分割して次のように書いてみます。

1 = 1 / m + 1 / m + ・・・・・・ 1 / m
項数は m 個です。これを [4] に入れてみると、

a = a 1 / m a 1 / m ・・・・・・ a 1 / m
というように a を m 個の a 1 / m の積の形に表せます。逆に言えば、 a 1 / m を m 乗すると a になるということです。 a 1 / m を「 a の m 乗根」と呼ぶことにして場合によっては

a 1 / m = m√a　　　[8]
と書くことにします。どちらの記号を使うかは好みの問題です。m = 2 のときは数字を添えずに単に√a と書くことにします。また、[7] を用いれば a− m = 1 / a m ですから、

a − 1 / m = 1 / m√a
という形になります。

　これで [1] 〜 [4] で定義された指数が、ちゃんと

x m = a
の解となり、皆さんが学んできた定義と矛盾しないことがわかりました。

a m をさらに n 乗するとどうなるでしょうか？　n も自然数としておきます。

( a m ) n = a m + m + ・・・・・・ + m　　　[9]
指数部分の足し算はぜんぶで n 個ですから、m n となり、

( a m ) n = a m n　　　[10]
というとても大切な公式が得られます。

( ab ) m の指数部分を m = 1 + 1 + ・・・・・・ + 1 のように m 個の 1 に分割してしまうと、[4] を用いて

( ab ) m = ( ab ) ( ab ) ・・・・・・ ( ab )
というように a, b 共に m 個ずつの積の形になりますので、

( ab ) m = a m b m　　[11]
これも大切な公式です。

　以上の議論は [7] を用いれば負の整数でも成り立ちます。確認しておいてください。ずいぶんとたくさんの公式が出てきましたので、使いやすいように並べ直しておきますね。

a > 0, a 0 = 1, a 1 = a
( a m ) n =