a m n
( ab ) m = a m b m
a− x = 1 / a x
a x + y = a x a y
　次回は指数部分が有理数の場合を扱いますが、すべて [1] 〜 [4] の式から導かれるので、それほどややこしい計算もなくけっこう簡単です。お楽しみに！

こばとの数学基礎講座04　指数計算 02 （指数が有理数）　KOBATO です！　海に行ったり、山に行ったり、アイス食べたり、ごろごろ寝転んだり・・・・・・何をしていても夏は夏ですね！　数学をしていても夏は夏です！　頑張りましょうね！　（自分でも何言ってるんだか、よくわからなくなってきた。暑いからだね、きっと）

　自然数 m, n を用いて m / n と表記された有理数を考えます。まず下に３つの数を並べてみます。

a m / n,　( a m ) 1 / n,　( a 1 / n ) m
　どうですか？　直感的に「どれも同じ数でしょー」と思えますよね。でもまだ証明されているわけではないので、きちんと確かめておきましょう。

まず、a m / n を n 回掛け合わせてみます。前回お話した指数関数の定義 a x + y = a x を使うと、

　　( a m / n ) ( a m / n ) ・・・・・・ ( a m / n )
　　= a m / n + m / n + ・・・・・・ + m / n = a nm / n = a m

となりますね。ちょー簡単です。次も同じように ( a m ) 1 / n を n 回掛けます。

　　( a m ) 1 / n ( a m ) 1 / n ・・・・・・ ( a m ) 1 / n
　　= ( a m ) 1 / n + 1 / n + ・・・・・・ 1 / n
　　= ( a m ) 1 = a m

とこれもまた a m となります。最後も同じです。( a 1 / n ) m を n 回掛けます。

　　( a 1 / n ) m ( a 1 / n ) m ・・・・・・ ( a 1 / n ) m
　　= a ( 1 / n ) ・ n m = a m

やっぱり a m となりましたね。

a m / n = ( a m ) 1 / n = ( a 1 / n ) m　　[1]
が成立することが確かめられました。 m 乗してから n 乗根