ことです。問題は式 [4] ですが、「 a の肩に x + y という足し算の記号が乗っていたら、それを a x a y という記号で書きますよ」という意味です。しかしまだこの段階では a x という表記が具体的にどういう計算をするのかを定めているわけではないことに注意してください。ただの記号にすぎません。

　しかし、この定義の威力はすぐにわかります。
　ここからあらゆる公式が芋づる式に派生していきます。
　試しに [4] に x = y = 1 を代入してみます。

a 1 + 1 = a 1 a 1
a 2 = a 1 a 1
となりますが、 [3] で a 1 = a と決めておきましたから、

a 2 = a・a
となって、「 a の肩に 2 を乗せた記号は a を 2 回掛けたものですよ」というよく知られた定義が現れました。もう少し一般的な式を得るために a の肩に自然数 m を乗せてみましょう。

a m = a 1 + 1 + ・・・・・・ +1　（ 1 は m 個）
というように肩に乗った m を m 個の 1 に分解します。そうすると[4]の定義を使って、

a 1 + 1 + ・・・・・・ +1 = a 1 a 1 ・・・・・・ a 1
と積の形に書き直せます。a 1 = a ですから、

a m = a ・ a ・・・・・・ a　　[5]（ a は m 個）
となって、「 a の肩に m を乗せた記号は a を m 回掛けたものです」という一般的な定義が現れます。ここで左辺を「 a の m 乗」と呼ぶことにします。

　次に指数計算にとってとても大切な公式を得るために、[4] で x = y = 0 としてみます。

a 0 = a 0 a 0
[2] で a 0 は 0 にしないことを決めていたので、両辺を a 0 で割って問題ありません。

a 0 = 1　　　[6]
と決まりましたね。

　x = x, y = − x を [4] に入れてみましょう。

a 0 = a x a− x
a 0 は 1 ですから、

a− x = 1 / a x　　　[7]
という公式が得られます。あらゆ