以前　途中で　止まっていたものを

動かしていきます


最近の　数学の　重点は　三角関数とか

かなり　重視されてるようなので

行列は　やってないんだ

でですよ

しぶしぶ

この方が　ブログネタだと言う話なので

三角不等式の　続きから　２問と　三角関数の　最大・最小　４問


かなり　うなぎの　寝床　になってますが


チョコレート　おせんべ

御茶　コーヒーに　カルピス

おにぎりは　いかがですか


みかん　ありますか

・・・・

では　行ってみます。

三角関数を　含んだ　２次方程式

が　異なる　２実数解を　持つためには

Θ　は　どんな範囲に　あればよいか











まずは

三角関数が　２種類あるので

１種類に統合してじゃナイスカね

二乗　二乗　＝１　の　公式が

大活躍で

定数項の　コサイン　二乗をサイン関数にするでしょ









これを　ｘ　について　整理して

普通の　２次方程式のときみたいに

判別式

判別式が　＞０　⇒

２つの　実数解

今回は　三角関数なので

答えが　シータで　出てくと






少し　簡単にして

両辺

４　割っても　符号の向きは

変わらないからさ









これを　因数分解だけど

二乗　ー　二乗で　考えればさ







０　になるとこが

プラスマイナスで
√3/2

数直線に　書き込んで

各因数＝０　の　前後を

右から　左に　交互に

+、-、+





これは　シータが　どんな範囲かというと


単位円で　考えると

サインは　ｙ軸に　できる影

影は　ー１　から　１まで








これをさ

単位円の　中心角で

見てくると

６０度　〜　１２０度


２４０度〜３００度










次はと

二つの　不等式を　同時に　満たすｘの範囲を

求めよと





今回は　


代入とかじゃなくてですね
コサイン　サイン　になってるので

別個で

範囲を　みて


重ねると

コサインのほから









例によって

因数分解の後は

各因数＝０を　数直線に　書き込んで

その前後を

右から　左に　交互に+、-、+


で　






で　+　のとこだから


単位円で

コサインを　考えると

ｘ　軸に　できた　影

これがさ

0未満になるとこと

1/2　より　大きくなるとこの

中心角だから






コサインって

こんな感じの　比の値で

単位円で

此の比を　代入すれば

ｒ分の　ｘ


ｒ＝１　が　単位円なので

コサインは　ｘ軸にできた　影








単位円で

コサインの　範囲　−１から　１において

０未満は　


1/2より上は　









度を　ラジアン

ラジアン　を　度

は　こんな感じで






ラジアンで　すぐ　出てるとこは

そのままでいいので







よく使う　直角三角形で

比を　持ってきたとき

度を　ラジアンに　かえると







この　４　っの　部分が　コサインの　部分






サインは







ｙ軸への　影

これがさ

0より　おおきいんだからですよ


円の　上　半分







これらを

ジーズ　あー　をですよ

合わせると








バルタンの　頭　ちょっと斜め見たいな








最大　最小　にいってみます

今度は

やっぱですね

三角関数を　１種類に　統合して







これが　頻繁に　出て来ますが


公式から

サインに　統合して









整理して

２次関数になってるので

サインｘ＝ｔ　と　置き換えるとじゃナイスカ


サインは　-1　から　1　までで








tの２次関数

制限域は　−１から1

これを

標準形で

グラフの　頂点が　どこか見ると











頂点は　制限域　内にあり







図で見るとですよ

頂点が　最大で

t＝１が　最小

サインｘ＝ｔ　としたから

ｔ＝-1/2　の時は

ｘ＝−３０度


ｙは　頂点で　5/4






最小値は

ｔ＝１の時で

サインｘ＝１だから

ｘは　９０度の時で
最小値は








ｙ＝−１







次は

ラジアンで

範囲が　記されてて

三角方程式










コサインに　統一するでしょ


二乗の　２種類　混ざってたら　２乗の方を

他の三角に　変換して







コサインの　２次関数になって

コサインは　−１　から　１　までだけど


初めに　ラジアンで

範囲が　記されてるから

確認すると







ちょっといいですか

イメージ的には　こんな感じだけど

丸くなってまして


大小関係がですよ

ちゃんと　整理すると

−√3/2　以上　１　以下






制限域が　出て来て

ｔ　にした　二次関数が

どこに　頂点を　持つか

標準形で

頂点を　探すとですね







１のとこが　頂点だから

制限域いっぱいの　右が　さ

最大値で








左制限域　いっぱいが　最小値








最大値は　３で　０ラジアン


最小値は　５π/6　の時で









４分の５−４√3






なので

題意より

ｙ　の範囲は


４分の５−４√3　＜＝　Y　＜＝　３







次は

なにか　書いてない

何々？


範囲が　書いてないから

んん〜

これはさ

一般角で　書けばいいんだ







兎も角

方程式を　解かんことにはですよ






一般角で　書くにせよ


正弦には　制限ありですので


で

ｔ　でもって　置き換えて






標準形で

二次関数の　形状を






頂点は　左　制限域の　外にあるため

制限域　左　いっぱいが　最大　

右が　最小






ｔで　関数が　現されてるので

ｔ＝−１　ｔ＝１　を　それぞれ代入して





また　それぞれの　角度を

一般角で　表現して

こたえ





小問が　二つあってですね

最大最小を

求めるんですが


（１）

aが　２の時

（２）

xが　３０どで　最大に　なる時の　aは

その時の　最大　最小は？









かっこ１はさ

さっきまでの　感じで






コサインの　２次関数にして





制限域　が　−１＜＝ｔ＜＝１　で







標準形で　グラフの　頂点の　場所を

確認して



制限域　右　いっぱいに　頂点

ここが　最大だから

左　いっぱいが　最小








ｔで　出してるので

ｔ＝１で　最大値　３


ｘは　０または　360ど


ｔ＝−１のとき　最小値　-1

ｘは　180ど







問題はさ


次なんですよ

ｘ＝　３０どで　
最大に　なる様に　aヲ定めよ

・・・・・・・・・・・さ　ダメヨ


やすもう




兎に角

標準形に　して　眺めてるでしょ






これで　ハンカチを　掛けて

一晩おくと






兎に角

かっこ　二乗は　頂点を　現しているのですよ

こさいんｘ＝ｔとして

制限域　0＜＝ｘ＜＝360を　-1＜＝ｔ＜＝1　にするでしょ


頂点の　座標が　制限域内に　あるとき

絶対値が　１以下の時は






頂点が　最大値に　なるはずで

その時の　xが　３０度


になってるように　なので







グラフの　上の　点の　、　んん　座標のさ

移動で　原点を　中心に考えて

移動した　感じに　式が　できてるじゃナイスカ

原点を　基準に考えて

なので　たとえば　ｘ−２は　原点から　２移動したんだけど

原点で　考えると　２−２は　原点　みたいになってる


そこんとこを　踏まえて

頂点の座標から　aを　原点から　見た　式のように　して

求めると　√3





これがさ　最大値になってるから

頂点の　ｙ　座標の　aに　√３を　代入して　最大値

11/4





制限域の　右　左を　代入してみて









最小値は　

ｔ＝−１の時で

１−√3






で　今度は　頂点が　絶対値が　１より　大きいとき

制限域の　左　もしくは　右に　頂点があるときは


制限域の　端が　−１　もしくは　１が　最大になり


しかし

その時の　ｔ＝　−１　または　ｔ＝１は







cos x ＝ｔ　としてるので


１８０度　もしくは　０度　３６０度で

ｘ＝３０度に　ならない

ので　不適







従いまして

最大値　11/4


最小値　１−√3


a＝√3





次は

三角関数の問題なのか？

三角形の

辺の長さと　面積の　最小値




第一象限の点　P（a,b）を　通る　直線が

x軸、ｙ軸と交わる点を　それぞれ　A,B,とする

（１）∠PAO　＝　Θ　として

　　　OA,OB の長さを　求めよ


（2）△AOBの　面積の　最小値を求めよ









むかしから

たーちゃん　直角だな

直角ってなぁーに


チョッカク　だな　って言われたらな

親指と　人差し指でな　

これかぁー　ッテいうだ！！


ここで

突然ですが

直線の　方程式て　どうだったかな






求め方が

パターンが　ですね

いくつかあるわけでさ







で

今回は

作図から
直線　ABの　方程式を　導くんですが






タンジェントは　第一象限からの　角度に　直すと

矢印に　なって　丸くなってるでしょ

補角の公式から　これがあさ

ーtanΘと　等しいので

これはさ

タンジェントΘは　微分で　出てくるけど

傾きなんだね

だからさ

公式の

一点と　傾きが　分かってるときの

ｍ：傾きに　−tanΘを　代入してさ





で

Pは　第一象限の点の　代表なので

Pが　もっと　Qよりのこともあるわけで


直線の　方程式で

ｙ＝０になってしまうとき

ここから　OA　を　求めると









括弧の　x−aを　係数で　かけてくでしょ

式変形から





ｘ＝の形に　すると　これが　OA　だから





ｘ＝０　の時は

これが　OB　だから








で　　三角形の面積は　底辺掛ける高さ　割る　２ザンスから

こんな感じで





ここでさ

少し　式を　いじって

括弧の　中を　相加相乗平均で　


ここんとこがさ　等号　が　成立するときが　

一番小さい値になる






だからさ

括弧の　中身が　２abの時　最小になるので






さらに　計算して　見ると

２ab





さらに　計算して　見ると

２ab







メニュウ　ページ。