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メニュウ　ページ。



　　　スローライフ　の　森 8月　　　　

解と係数の関係　で

３次方程式の時

３っの解を　α　、　β、　γ、　とすると


式の　変形で

展開しながら　元の　方程式に　してくと







α　＋β　+γ　


βγ　+　γα　+　αβ


αβγ


が　係数に　なってることが分かり








α　＋β　+γ　＝　-（b/a)


βγ　+　γα　+　αβ = (c/a)


αβγ = -(d/a)








これをまえて


問題です







まず

３次方程式の　解と係数の関係を

出すじゃナイスカ






（１）は

因数分解の公式から

式変形して





出てるとこを

代入して


こんな感じで









（２）

３乗の　足し算だったら


これまた

因数分解の公式から

式変形していって


（１）の結果も使って







代入してくと

こんな感じで








（３）は


一見

どーするんだ


なんですが

それぞれの　（　　）の中が

２文字　なので

しかも　かっこの　くくりだしが

（　　）　　のなかに　使ってない文字なので








α　＋β　+γ　＝3


から　式変形したものを　代入してくと


（１）　　（２）　　の答えが　使える


で


こんな感じに


（　こうなって　こうなって　こう　）









類題


今やったのの

おさらいです






解と係数の関係から

関係式を出してくると



（１）

が　出てしまう







こんな感じで








（２）も　さっきの　因数分解の公式で

式変形　して　代入


で










（３）も

因数分解の公式から


実生活には

出てこないけど


テストには　出るらしい


ここまでで

２回も　でてるもんね







答え









簡単だなと思ってたら


書き方が　少し　違うだけかと思ってたら



（ア）　（イ）　（ウ）　　 の　３っの条件を

満たすように

a,b, を　定めよ







まずは
　解と　係数の関係　じゃナイスカ

�@　�A　�B　と　出すでしょ










�@　�A　�B　と　（イ）　も　加えまして


３つのうち　一つは　１　だと言ってますので


α＝１のとき







�@と　(イ）　より

βの二次方程式


とくじゃナイスカ

ところがさ


虚数解になっちゃうので

不適






β＝　１のとき

�@　�A　�B　と　（イ）から







�Bと　（イ）　に　β＝１　を　代入した　式から

ｂ＝−１


�Bに　b＝−１を代入

�Aより式変形






�@より　式変形


これらを　合わせると


a＝−3



なので

ここで

β＝１　a=-3,b=-1

見たいですが



念のため






γ＝１のとき

�@　�A　�B　と　（イ）から







�@と　(イ）　より

βの二次方程式


やはり　ベータが　虚数解になってしまうので　


不適






従いまして

たぶん


a=-3

b=-1


実際に　与式に　代入して

解いてみると






３次方程式の　解の一つが　１　なので

（ｘ-1）　を　因数に　持つはず



係数分離　と　組み立て除法で




２次方程式を　解の公式で

なので






ルートが入ってるけど

実数

一つは　１　すべて　相異なる実数


βの二乗は　１

αγは（―２＋　√３　）かける（　−２　−　√３）


４-3＝1


なので

３条件を満たしていて









α　と　γは　共役だから


こんな感じで







メインイベント


相異なる　３数が　あり

その３数の和は　２に等しい


いま、この　３数から２つずつ　とってきて　積を作るとき

できた　３数は　全体として

はじめの　３数に　等しいという


３っ　の数を　求めよ




条件　はじめのから

α　＋β　+γ　＝　2








条件　２番目から

βγ　+　γα　+　αβ =　α　＋β　+γ　＝　2







ここで

βγ　+　γα　+　αβ =　α　＋β　+γ　＝　2


が言えるんだから

　　αβ・βγ　+　　βγ・γα　　+　　γα・αβ　　＝　α　＋β　+γ　＝　2


αβγ（α　＋β　+γ）＝２　　　、　　　α　＋β　+γ　＝　2


αβγ＝１







なので

３次方程式の

解と係数の関係で

α　＋β　+γ　＝　2


βγ　+　γα　+　αβ =　2


αβγ＝１



３次方程式は





計算してきますと

式変形で






だいにゅうすると　


３次方程式が　出現しました








解の公式は　２次じゃないと使えないから


因数定理　で　因数を　探すでしょ



F(1)=0　になるですね

係数分離　と　組み立て除法






２次方程式からは

共役な　虚数解








今回は　実数とは　言ってませんから

答えは　この　３数





前回

台風９号は　ご隠居と　遊んでたら

神さまが　微笑んで　それましたが

今回は

ご隠居と　遊ぼうにも

危ないから

家に入って　しっかり　戸を閉めていなさい

になっちゃってるみたいで

たのむー　すぎこしてくれー