2016年08月25日
03027 大人のさび落とし 3次方程式の解と係数の関係
家庭菜園と5F 4F 3F 2F 1 Fざっかやメニュウ ページ。
スローライフ の 森 8月
解と係数の関係 で
3次方程式の時
3っの解を α 、 β、 γ、 とすると
式の 変形で
展開しながら 元の 方程式に してくと
α +β +γ
βγ + γα + αβ
αβγ
が 係数に なってることが分かり
α +β +γ = -(b/a)
βγ + γα + αβ = (c/a)
αβγ = -(d/a)
これをまえて
問題です
まず
3次方程式の 解と係数の関係を
出すじゃナイスカ
(1)は
因数分解の公式から
式変形して
出てるとこを
代入して
こんな感じで
(2)
3乗の 足し算だったら
これまた
因数分解の公式から
式変形していって
(1)の結果も使って
代入してくと
こんな感じで
(3)は
一見
どーするんだ
なんですが
それぞれの ( )の中が
2文字 なので
しかも かっこの くくりだしが
( ) のなかに 使ってない文字なので
α +β +γ =3
から 式変形したものを 代入してくと
(1) (2) の答えが 使える
で
こんな感じに
( こうなって こうなって こう )
類題
今やったのの
おさらいです
解と係数の関係から
関係式を出してくると
(1)
が 出てしまう
こんな感じで
(2)も さっきの 因数分解の公式で
式変形 して 代入
で
(3)も
因数分解の公式から
実生活には
出てこないけど
テストには 出るらしい
ここまでで
2回も でてるもんね
答え
簡単だなと思ってたら
書き方が 少し 違うだけかと思ってたら
(ア) (イ) (ウ) の 3っの条件を
満たすように
a,b, を 定めよ
まずは
解と 係数の関係 じゃナイスカ
@ A B と 出すでしょ
@ A B と (イ) も 加えまして
3つのうち 一つは 1 だと言ってますので
α=1のとき
@と (イ) より
βの二次方程式
とくじゃナイスカ
ところがさ
虚数解になっちゃうので
不適
β= 1のとき
@ A B と (イ)から
Bと (イ) に β=1 を 代入した 式から
b=−1
Bに b=−1を代入
Aより式変形
@より 式変形
これらを 合わせると
a=−3
なので
ここで
β=1 a=-3,b=-1
見たいですが
念のため
γ=1のとき
@ A B と (イ)から
@と (イ) より
βの二次方程式
やはり ベータが 虚数解になってしまうので
不適
従いまして
たぶん
a=-3
b=-1
実際に 与式に 代入して
解いてみると
3次方程式の 解の一つが 1 なので
(x-1) を 因数に 持つはず
係数分離 と 組み立て除法で
2次方程式を 解の公式で
なので
ルートが入ってるけど
実数
一つは 1 すべて 相異なる実数
βの二乗は 1
αγは(―2+ √3 )かける( −2 − √3)
4-3=1
なので
3条件を満たしていて
α と γは 共役だから
こんな感じで
メインイベント
相異なる 3数が あり
その3数の和は 2に等しい
いま、この 3数から2つずつ とってきて 積を作るとき
できた 3数は 全体として
はじめの 3数に 等しいという
3っ の数を 求めよ
条件 はじめのから
α +β +γ = 2
条件 2番目から
βγ + γα + αβ = α +β +γ = 2
ここで
βγ + γα + αβ = α +β +γ = 2
が言えるんだから
αβ・βγ + βγ・γα + γα・αβ = α +β +γ = 2
αβγ(α +β +γ)=2 、 α +β +γ = 2
αβγ=1
なので
3次方程式の
解と係数の関係で
α +β +γ = 2
βγ + γα + αβ = 2
αβγ=1
3次方程式は
計算してきますと
式変形で
だいにゅうすると
3次方程式が 出現しました
解の公式は 2次じゃないと使えないから
因数定理 で 因数を 探すでしょ
F(1)=0 になるですね
係数分離 と 組み立て除法
2次方程式からは
共役な 虚数解
今回は 実数とは 言ってませんから
答えは この 3数
前回
台風9号は ご隠居と 遊んでたら
神さまが 微笑んで それましたが
今回は
ご隠居と 遊ぼうにも
危ないから
家に入って しっかり 戸を閉めていなさい
になっちゃってるみたいで
たのむー すぎこしてくれー
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posted by 宮下 敬則 at 21:51| 大人のさび落とし( 問題を解いてみました。)