の線で 3 つに分割されるということです。そしてこの線分の分割数はそのまま、新しく増える領域数（黄色い部分）に対応していることがわかります。だから 3 回目に引いたときに増える領域は + 3 なので 7 つになります。これを繰り返すと

　4 本目の線を引くと、4 つ増えて 11 に分割されます。
　5 本目の線を引くと、5 つ増えて 16 に分割されます。

　というように回数をそのまま足していけばいいので、10 本目を引いたときにできる領域数は　

16 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 56
となります。一般的には k + 1 本の線を引いたときの領域数 f(k+1) は

f(k+1) = f(k) + k + 1
で与えられます。つまり

f(k+1) - f(k) = k + 1
で表される階差数列になっています。この漸化式の扱いを知っているならば、

画像
というように一般的な式をつくって n = 10 を入れると f(10) = 56 が得られます。でも 10 本ぐらいなら普通に足し算したほうが早いです。