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　今回もまたまた数列クイズ。じっと睨んで規則性を見つけてみましょう。

問題61　簡単な規則で分数が並んでいます [中２★★☆☆☆]　第１項を 0, 第２項を 1 と定め、
　続く第３項からある一定の規則で次のように数が並んでいます。

0, 1, 1/2, 3/4, 5/8, □, 21/32, 43/64, ...
　□ に入る数字を当ててください。
[ヒント] 答えを聞くと「なーんだ」と思うような簡単な規則で並んでいます。
　　　　あまり難しく考え過ぎないでください。
　
問題 61 の解答　この数列の各項は前の２つの項の平均をとっています。
　第３項から丁寧に確認してみると

　　第３項　(0 + 1)/2 = 1/2
　　第４項　(1 + 1/2)/2 = 3/4
　　第５項　(1/2 + 3/4)/2 = 5/8

となっています。よって □ に入る数は

　　第６項　(3/4 + 5/8)/2 = 11/16

となります。残りの項も確認しておきましょう。

　　第７項　(5/8 + 11/16)/2 = 21/32
　　第８項　(11/16 + 21/32)/2 = 43/64

　漸化式で表すと

an+2 = (an+1 + an)/2
という数列です。エクセルでこの数列を描いてみると

　

　横軸が n で縦軸が an です。
　一定の値（0.667）に収束していく様子がわかりますね。