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　題材は大学で扱うルジャンドル多項式ですけど、 3 次関数の積分を知っていれば解ける易しい問題です。「直交多項式ってどんなかなー」ということを感覚的に知ってもらいたいと思って作った問題です。

問題21　多項式の直交性を確かめます [高３★☆☆☆☆]　区間 [−1, 1] において多項式 Pn(x) を次のように定義します。

画像
　ただし n は 0 以上の整数です。dn/dxn は n 階微分の記号です。
　d0/dx0 は 1 度も微分しないという意味です。

(1) P0(x), P1(x), P2(x) の表式を求めて 1 枚のグラフに重ねて描いてください。
(2) P0P1, P0P2, P1P2 を −1 から 1 まで積分して値を求めてください。
(3) P02, P12, P22 を −1 から 1 まで積分して値を求めてください。
　
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解答21(1) 定義から P