≫ [Amazon書籍] べんりな変分原理（物理数学One Point）

問題10　対称 4 次式と 1 の 5 乗根　[高１★★★☆☆]
(1) 次のように x2 を中心に係数が対称になっている 4 次式

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a
について、t = x + 1/x とおくことにより、

P(x) = x2 Q(t)
の形に表せることを示してください。

(2) (1) の結果を用いて

x5 = 1
を解いてください。
[ヒント] 5 次方程式ですから、解は全部で 5 つあります。
　
解答10（4 次方程式に帰着させます）(1) t = x + 1/x とおくと、t2 = x2 + 2 + 1/x2ですから、P(x) を x2 で括ると

　　P(x) = x2(ax2 + bx + c + b/x + a/x2)
　　　　 = x2[a(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c]
　　　　 = x2[a(t2 − 2) + bt + c]

となって、P(x) = x2Q(t) の形になることが示されました。

(2) x = 1 が解であることは明白ですから、次のように因数分解できます：

(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0
残り 4 つの解を求めるには、次の 4 次方程式を解きます：

x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
これは P(x) において a = b = c = 1 とおいた式ですから、t = x + 1/x として

x2(t2 + t − 1) = 0
と変形できます。そこでまず t についての 2 次方程式

t2 + t − 1 = 0
を解いて、

t = [−1 ± √5] / 2
が得られます。これを x の表式に戻すと、

x + 1/x = [−1 ± √5] / 2
少