今回は √2 を機械的に計算する方法を調べます。

問題09　マクローリン級数を用いて平方根の値を計算します [高３★★☆☆☆]　 関数 f(x) を次のような形で展開する式をマクローリン級数とよびます：

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(1) a を任意の実数として、 (1 + x)a を第 5 項まで展開した近似式 B(x) を求めてください。
(2) (1) の結果を用いて √2 の近似値を計算してください。
　今回はヒントなし。マクローリン級数は大学で扱う内容ですが、式の形を問題に明示しておいたので、高校３年生を対象としました。 (2) の数値計算が面倒だと思ったら電卓や Excel を使ってください。ちなみに B(x) の B は Binomial Expansion（ 2 項展開）の頭文字です。
　
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解答09（4 階導関数を計算します）(1) まずは f(x) = (1 + x)a の 4 階までの導関数を求めておきます。f(n) は f の n 階微分を表す記号です。

　　　f'(x) = a(1 + x)a−1
　　　f''(x) = a(a − 1)(1 + x)a−2
　　　f(3)(x) = a(a − 1)(a − 2)(1 + x)a−3
　　　f(4)(x) = a(a − 1)(a − 2)(a − 3)(1