+ x)a−4

　x = 0 を入れて、

　　　f'(0) = a
　　　f''(0) = a(a − 1)
　　　f(3)(0) = a(a − 1)(a − 2)
　　　f(4)(0) = a(a − 1)(a − 2)(a − 3)

　したがって、 (1 + x)a の 5 項までの近似式

　画像

が得られます。

(2) √2 は (1 + 1)1/2 のように表せますから、B(x) に x = 1, a = 1/2 を代入して一生懸命計算すると、

√2 ≒ 1 + 1/2 −1/8 + 1/16 −5/128 = 1.398
という近似値が得られます。実際の値は

√2 = 1.414 ......
ですから、ちょっと精度が良くないかもしれません。項数を多くとればそれだけ良い近似値が得られますけど、そうすると計算がどんどん煩雑になってしまうので、問題として出題できるのはこのあたりが限界ですかね。
　ちなみに平方根は項を足したり引いたりを繰り返す交代級数となっていますね。「ちょっと多めに足し過ぎたから、次はちょっと引いておこう」ということを繰り返して真値に近づいていくわけです。もちろん、√3 （x = 2）や √5 (x = 3)も B(x) を使って計算できますので、気になる人は試してみてください。Excel の機能を使えば、もっと多くの項をとっても簡単に計算ができますよ。

理系英単語�F　級数展開
　Taylor expantion　テイラー展開
　Maclaurin series　マクローリン級数
　remainder　剰余項
　domain of convergence 収束域
　radius of convergence 収束半径
　term