これが描ければ (3) の問題はおまけのようなものです。

(3) 与えられた数値を入れて計算します：

　　　　　k = sqrt(5) = 2.236　　　 L(k)/2 = 2
　　　　　k = sqrt(17) = 4.123　　　L(k)/2 = 4
　　　　　k = sqrt(26) = 5.099　　　L(k)/2 = 5

ですね。何となく k が L(k)/2 に近づいている気がしますね。先ほどのグラフから L(k) ≒ 2k ですから、

　　　　　L(k)/2 ≒ k

がわかります。これは十分に大きい（ k ≧ 5 あたりの） k においては、下図のように緑色の線分と赤い実線部分の長さが等しくなることを示しています。

　

補足　カテナリー（懸垂線）　より一般的なカテナリーの定義は

画像
で与えられます。カテナリーが満たす方程式は

1 + y′2 = y2/a2,　y" = y/a2
です。カテナリーは均質な紐の両端を天井で