曖昧なまま [*] を使うことをためらわれる人もいるかもしれませんので、「はさみ打ちの原理」を使って証明してみましょう。そのために、

f(x) = √x - log(x)
という関数を考えてみます。上式を微分すると、

f´(x) = (√x - 2)/(2x)
が得られます。x > 4 で f´(x) > 0 （単調増加）がいえますね。
また、 e/2 > 1 なので（e = 2.718 ですよ。念のため）

f(4) = 2log(e/2) > 0
も成り立ちます。したがって

0 < logx < √x　　（x > 4）
が成り立ちます。x で割って

0 < logx/x < 1/√x　　（x > 4）
　だから x → ∞ の極限をとると「はさみ打ちの原理」により

logx/x → 0　（x → ∞）
が成立します（証明終わり）。

　

　しかし極限値１つ求めるために、いちいち「はさみ打ちの原理」なんて使っていては面倒です。実はもっと簡単な方法があります。それは「ド・ロピタルの法則」を用いる方法です：

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　「ド・ロピタルの法則」は 0/0 や ∞/∞ のような不定形に対して威力を発揮する極限の計算法です。「平均値の定理」と「コーシーの平均値の定理」を経て