正弦　余弦　定理　応用

半径aの　円があるときに

円に　内接する　三角形ABC　において

BCが　√３　a　の時

角BAC を　求めよ


AB=2AC 　であるとき　辺AB ,AC,の長さを求めよ








話が　見えるように

図を　書いてくじゃ　ナイスカね

円に　内接する　三角形ABC　デショ

BC=√３a

角　BAC　は　BCの頂角になってると









正弦定理を　おもいだすとさ

辺と　その　頂角のサインと　円の半径の関係なので


公式の半径R　の時　２Rが　→　２a


求めるのは　角BAC　角Aだから

底辺と　対角と　半径から

公式に　あてはめて

サインAは　√3/2






でですね

単位円から

サインは　動径が　ｙ軸に作る影

三角形の内角の和は１８０度

０からパイ

そのさ

０度から　１８０度の間で

サインが　√3/2　になる角は

第一象限と　第二象限に　あるわけで

辺BCに対する　鈍角の　サインは　１２０度

辺BCに対する　鋭角の　サインは　　６０度

中学の時に

クラスには

２０人くらい　女性がいたとですが

大きいほうの　弧は　ゆうこ

小さいほうの　弧は　れいこ

れっこ　だってば

もー　

お二方とも

頭の　よい　女性でした。




冗談は　ともかく









正弦定理は

一辺に関して

頂角が　２つ　可能性があるので

条件に　あった方を　見ないといけなくてですよ










公式では

サインA分の　BC＝２Rで

一定なのだから

角が　サインAのところのさ

角Aがさ
　
ゆう弧　側にいるときは　

または　

れっ弧　がわにいるときは

円周上　どこでも
　
角度は　角Aの　大きさは　同じ









ナタメ

それを　踏まえまして

AB=２ACになるように　角Aを　動かしてくでしょ

角Aの　大きさは　同じ

AB=2ｘ　　AC=ｘ　として

３辺と　１角が　分かってるので

角度のコサインを　３辺の式で表す余弦定理から

角A　BACが　６０度の時のxは









分数になってるから

たすき掛けで

平らに　して　ですよね

ｘ＝a







なので

AB=a　　AC=2a


角A　BACが　１２０度の時は

また　余弦定理から

角度のとこだけ

値が　変わって　入ってきて







xの２次方程式に　してくと







xは　√が　残って






有理化すると

×　１は　同じだから

√７分の√７と言う　１を　かけて


AC=√21/7　a　　　　AB=　２√２１/7　a








三角形　ABCで　AB=2

角B=60ど　　角C=45ど


（１）辺ACの長さを求めよ

（２）辺BCの長さを求めよ

（３）　　　（１）（２）を使って

サイン75ど　を　求めよ







角度が　２つ分かっていて

その　対辺の　一つが　分かってるですので


三角形に　外接する円を

書けば

円に内接する三角形でもあるので

正弦定理から

ACが　でそうだと








４５度と　６０度の　サインは　知られてるから

比の値を　代入してじゃナイスカ






ACは　√６





角Aは　三角形の内角の和が　180度だから

分かってる　６０度４５度を　引けば　７５ど

コレダと

すぐには　正弦定理が使えない

７５度の　値を　知ってれば

すぐ

正弦定理の　代入して

BCが　でるんだけどさ

そういう問題のようです








ナタメ

作図して

分かってる情報から

BCを　調べると


角Aから　BCに　垂線を　おろせば

よく知ってる　比の三角形の

形に　なるので





三角形ABD　の側から考えると

AD=√３


AD：DC:　AC=　１：１：√２だから

DC=√３

BD=１だから

BC=BD+DC

＝　１＋√３








一様　これがさ　(２)の答えで

これと　(１)の　AC＝√６を　使って

正弦定理に

入れると

サイン７５度が出るので







分数の　イコールだから

たすき掛けで

平らに　してでしょ







有理化すると

分子にだけ　√が付いて

答えは　これ






三角形ABCで

３角の　サインが　比の値で

出てて

ここから

最大角を　求めなさい






正弦定理に

＝ｋとおく　を　使って


三角形の　各辺をa,b,c,としたときの

各辺を　比の値で


あらわして











三辺の　長さの比が

3ｋ：5ｋ：7ｋ






一番長い　辺の　頂角が

最大角だから

その　角をΘとして

コサインΘを　三辺の比の式で

あらわすと

ｋが　消えて






コサインが　負角で

-1/2





コサインの　負角は

第二象限の角だから


角度を

第一象限で

求めて

その負角は

１２０ど


次は









二辺と　その間の角が　分かってると







図にするとこんな感じで

求めるのは

BCと　角B


赤いところ





余弦定理に代入して

まず

BCを　だして






BCは２

（　ビーシーわに　）

ことばは　大切で

おんだけ　同じだからで

ニュアンスを　変えちゃうと

まったく　伝わらない

この辺の　話は

当たり前の話なんだけどさ

あたりまえ　いつも　できてますか







三辺の長さがでれば

Bの角度を　三辺で　表す余弦定理の式から

角Bの　コサインが出て来て






こんな感じで

有理化せねば





こんな時は

因数分解の　公式で

有理化でしたよね






コサインは

√3/2






コサインの　符号は

単位円で見ると

０度　から９０度　は　正

９０度　から　１８０度　は　負


なので

Bは　３０度







円に内接する　

４角形ABCD　が　あるとき


B=120度　∠ACD=４５度


AB=2センチ　BC=４センチ　であるとき

AC　AD　CD　は　何センチか







作図して

分かってるとこを

書き込んでじゃナイスカ

一見

二つの　式で

sin B


sin D

同じく　見えるけど

sin　は　第一象限の　角度と

第二象限の　角度が

共に　ぷらす　符号で　あるので

ACが　直径でないならば

優弧　劣弧　で　角度が　ちがっては

来るけど

サインの値から　角度が　出てくる









そんなわけで

サインDは

６０度







ACの長さは

余弦定理から







AC=２√7





ACが　でたので

残るは　　AD　　CD


Aから　DCに　垂線を下し　Hとすれば

図が　正確でないですが
１：１：√２

２√７が　√２　⇒　　HCは　1







外項の積　＝　内項の積

だから

HC=√14

で

三角形AHDは

∠AHDが　６０ど　だから







DHが　√42/3








ADが２√42/3










だから

こんな感じで


あ

せんち　センチでしたね


センチを　つけてください













オリンピックが　終わり

今度は

パラリンピックですが

少し　センチカナ










メニュウ　ページ。