２次関数のグラフは

下に　凸の時も

上に　凸の時も

ｙ＝　なんたらの　ｘの範囲が　指定してなければ

頂点が　ある場所が　最小　もしくは　最大

ところがさ

制限がかかってくると

というお話です


問題　行ってみましょう

２次関数が　あってですね

−１＜＝　ｘ　＜＝　４　の時


まず　頂点を　探すでしょ







標準形で


頂点を　探して

これで　最大値　または　最小値　が　一個

制限範囲内に　頂点があればですが







どうやら　頂点は

−１　と　４　の間で

制限範囲内

ということは　そのまま

頂点がさ

これは　下に　凸だから

最小値







普通範囲が　指定してないときは

最大値が　ないんだけど

どんどん　無限大に　なってってしまうからさ


しかし

制限が　かかってるた〜めに　上限が　あるわけで

制限変域の　端と端の　値を

代入じゃナイスカね







どっちも　制限が　かかってるために　無限大まで行かず

-1の時が　最大で

10まで行ってますため

ここが最大値







次はさ

ここは　数�Tの部屋ですが

４次関数の　最小値を求めよです






これはさ

高校の頃

期末試験に出てしまって


１年の時か　３年の時かは　忘れたけど

できなかった　記憶があります







区切りのいいとこで

置き換えるんですが


＝ｔ　と置いてですよ









で　

先に　ｔの　値の　変化を　調べちゃいますが

置き換えた　ｔ　は　

２次関数で

最小値のある　下に凸型

ということは


ｘの範囲は　実数でも

ｔにしてしまうと

ｔの値に　下　限界があります。








ｔの　した限界は　-4


で」

与式の変形から　でてきた

標準形は

ｔ+5　括弧　２乗　　-5　で

−５が　最小値　っぽく　なってますが







ちょっといいですか

整理してですね

与式を

ｔの２次式で　置き換えて

４次式が　ｔの　２次式になって






その一般形を

標準形に　

変形すると

-5　が　最小値っぽく　なってますが

ｔ+5　括弧二乗　-5　が





ｔは　-4以上なので

-4　が　一番小さい値






tが　-5のところが

頂点なんだけど


tが　-4までしか下がれないため

その時の　ｘは　-2　を　代入すると



最小値は　ｘ＝-2のとき

ｙ＝-4　になる








類題　行ってみましょう

制限変域のある　最大　最小　　の　問題


グラフの　形状は


上に　凸

最大値型ですよ







与式の　一般形を　標準形に　するじゃナイスカ

標準形からは

頂点の　座標が　分かるわけで

ｘは　プラスマイナス　が　逆に出ますが






頂点は

めでたく

制限変域内なので

そのまま

最大値






後は

制限変域の　端と端　を　値を調べて

どっちが下にあるか






グラフより　　x＝2の時が　最小値ってことで

-7








絶対値が　出て来ました

今日は　左右に　打ち分けて

絶対値を　ゼロ以上で　外すときと

　　　　　ゼロ未満で外すとき

与式の　感じが　変わってですね







しかも　さらに　変域に　条件が　出てくるので

初めに　与えられた　制限変域と　重ね合わせて







そのうえで

作図のため

一般形を　それぞれ　標準形にしてですよ







それぞれの

端と端を

調べてくとですね









3点　　2点　調べて






グラフに　してくでしょ








でてきたのを　合成して

グラフより

最大と　最小








次はさ

これは　昔むかし　受験で　出たんだって

数学の　２で　解くときは

微分して

表みたいにして

グラフの　最大　最小を　見てくんですが

ここはさ

数�Tなので






与式を　見てると

同じよな　固まりが　浮き上がって　来るわけないよな


良く見て
　
作り出してですね


それを　ｔの　2次関数にする作戦で





与式が

4次から

とちゅで

ｔの2次関数になったと







標準形に


変形すると

最小値が　見え始めるんだけど







ここでさ

ｔは　ｘの　2次関数なので


さらに






ｔの方も　グラフ化してみると

ｔの　最小値がある


ｘの　範囲は　実数なんだけど


ｔは　下　限界がある









その　ｔの　下　限界を

一つ　上の　2次式に　代入すると








ｔ　がさ　-13/2の時が　　頂点なんだけど（-6.5）


t　が　下　限界が　-25/4　なので　（-6.25）

なので

頂点まで
　
ｔ　は　届かない








整理して

与式を　ｔを　の2次関数を　使って


ｘの　4次式のところを

ｔの　2次式にして


ｔの2次式の　標準形から

最小値








しかし

ｘの　2次関数の　ｔにも　最小値があって

その時の　xは　-5/2　なので

代入したら





最小値は　-51/16









メニュウ　ページ。