2016年10月31日
04013 大人のさび落とし 不等式の証明もんだい ( 相加平均 ・ 相乗平均 )
家庭菜園と5F 4F 3F 2F 1 Fざっかやメニュウ ページ。そうか・そうじょう 平均というのがあって
スローライフ の 森 10月
なんか むずかしそうなんですよー
最近 いろんな人に 心配されてて
幸せだなぁ
こないだ おじさんから 電話が 来たとです
うちの を 気遣ってくださいました
?
そのあと
わたくしの 一言
僕のとこも 心配してくれないの?
あー
そうだ
大丈夫なんか
だいじょです
ジョーダンは ともかく 行ってみましょう
相加平均 数字を n個足したものの 総和を nで 割るものと
相乗平均 数字を n個掛け合わせたものの 総積を n乗根 するもの
相加平均は >= 相乗平均
これを 証明せー という問題です
ただし 文字は すべて 正の数
まず 大小の 比較 なので 差を とるじゃナイスカ
式変形で
分子 が (かっこ) 二乗の形に なったので
実数の 二乗は 0以上
なので 差が 0以上に なったから
元の 不等式が 成り立つと
かっこの 二乗の ところを 見れば
等号成立 は a=b の時
数が 一つ 増えて 3っ になると
これは 立方根が あるため
このままじゃ 差を とっても 式変形 出来ない
そこで 置き換えを 使って
x、y、z の不等式に 化けました
これで 差を とって 証明 に 持ち込むんですが
因数分解の 公式が あるじゃナイスカ
それを 使って
始めの ( ) の 中は
x+y+z 文字は すべて 正の数でしたから
これは あっさりと >0
問題は その後ろ側
そこで
式変形の 時に 面白い のが あったじゃナイスカ
1/2 でくくりだして 中身が 2 バイ
これを 式変形 してくと
かっこ 二乗が 3っつ
0以上だな と
差が 0以上に なったので 不等式が 証明され
もとに 戻すと
証明になったと
で
等号成立は
a=b=c
ナタメ
相加平均は 相乗平均より 大きいか 等しい
それでは 元気に 行ってみましょう
次の 不等式を
相加平均 相乗平均を 使って 証明せよ です
エー と ビー
エー分のイチ と ビー分のイチ
に分けるじゃナイスカ
エー と ビー から
エー分のイチ と ビー分のイチ
から
これを 辺々 掛け合わせると
すべて 文字は 正の数なので 符号の向きは そのまま
やくせる とこを やくして
次は
一見強力そうなんだけどさ
そのまま 行ってみてください
いとも 簡単に
次は これはねー
分割 するんだって
あきんど でんなー
a b c
に分けて
相加 ・ 相乗 平均に するでしょ
これを 全部 足すと
整理すると
次行ってみましょう
やめときますか
行く 手ごわいですよ
二手に 分けて
へてから タスじゃナイスカ
後ろ側を
さらに 相加・相乗平均に 持ち込んで
符号のむきが 同じですので
一番 左と 一番 右
で見てきますと
なので
ナタメ
こうです。
次は 不等式の 証明なんですが
相加 ・ 相乗平均で
まず
下ごしらえを
一見 難しそうなんですよ
これを
かけ合わせるじゃナイスカ
文字は 正の数 なので
符号 の 向きは 変わらないです
ところで
題意に x+y+z=1 が あったじゃナイスカ
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posted by 宮下 敬則 at 20:58| 大人のさび落とし( 問題を解いてみました。)