家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　1 Fざっかや
メニュウ　ページ。



　　　スローライフ　の　森 6月　　　　

方程式　のとこで

共役複素数

なんだって

二次方程式の　一つの解が　複素数になってるとき

その　共役な　複素数も　解であることを

しめせ　という問題です


行ってみます






わかってる　方の解は　解として　使えるので

そのまま

方程式に　代入　するじゃナイスカ


きょきょ　じつじつに　


式で　分けてくでしょ




ここで

a　＋　ｂi　＝　０　ならば　　a = b = 0



より

実部　虚部　が　＝０になる


ここで

いったん止めておいて







今度は

もう一つの　複素数

共役の方を

こちらは　まだ　解と　言ってませんが

代入してくじゃナイスカ


でー


解ならば　＝　０　が

成り立つよと





この　等式が　＝０が


成り立てば　いいのですが


さっき　止めといたとこの


�@�Aの　式の値が


（　　）　（　　）　　でくくってある　中身と同じに

なってるので

　０　−　０i　＝　０

になって

こちらも　解








しかも

ｑは　０でないので

共役な　二つの　複素数の解を持つ







これを　踏まえて

モー少し　次数が　上がって

３次方程式だったら


今度もね

一つだけ

複素数の解が　わかってるので


その　共役な複素数も　解であることをしめし


残りの　解　も　求めると

やり方は


今と同じで




代入して

式変形

実部　虚部　に分けて






a + bi = 0

ならば　a = b= 0


より


実部　＝０　　　虚部　＝０


ここで


止めておいて







今度は

共役な　複素数

a - bi　を　解とは　いわずに

代入してみて

方程式が　なりたてば　これも

解に持つ




実部　虚部に　分けるでしょ


ここで

さっき　解と認められてるほうから

出してきた

�@�A式を　代入すると

方程式が　＝０　になる


しかも　　bは０でないので

共役な複素数を　解に　持つ








ここで

終わりではなく

３次関数だから


もーいっこさ　あるじゃナイスカ

で


３次関数の解を

α　β　γ　　（　アルファ　ベータ　ガンマ　）

とすれば







仮面ライダー　は　置いといてですね


共役な　複素数の　部分を　展開したものと

x−ガンマ　の形にして








整理すると


a ,b,

と　ガンマ　が　混ざった　ｘの　３次方程式



が出てきましたよと



ここで

また　止めておいて






今度は


与式のほうから


ｐ　ｑ　を　a ,b を　使って

表すじゃナイスカ

さっきの　証明のとこの　�@�Aの式から





ｐ　　ｑ　　を　a,b
　
で　出すでしょ






これをー

与式に　代入して







さっき　止めといた

式と

今出てきた　式の


係数を　比較して


ガンマを　a,b で　表そうと


そしたら

�@より


いきなり　求まってしまいました





答えは　これでいいんだって









これを　踏まえて

モー少し　次数を　あげて

４次方程式だったら


やっぱり

複素数の解が　あるんだって


共役な複素数も　解であることをしましたうえで

残りの　解を　全部　求めよ






そこで

今回使う手は

共役な　複素数を　解に持つならば

その　展開した形


で

割り切れる


（ｘ−（＋　複素数　））（X　-　(　-　複素数））


因数に　持つことになるわけで


解であると






与式を　いまだしてきた　展開の２次式で

わる　ザマス


そーするとー

どーなるかな

えーとねー










こんな感じで






これで

共役な　複素数のほうは　因数に持つので

解だよ

残った　２次方程式は

解の公式が　使えるので








答えは　こえれでぇす。




次はね

難しいです


やめよー


え

だめ

いけるとこまで　でいいー

これです







やっぱ　やめよう

むずかしいよ


え　　トラを　見ながら

捜査を　続けろ


いてみます


しぶしぶと


虚数解を持つんですから

解の公式の　ルートの　中が　＜０
　　

マイナスに　なるんですよ


ここで

ルートの中身は　正　という　約束事があるので


マイナスを　前に出すでしょ


そのあと　全体で　マイナスに　なるので

後ろが　プラスになるように　４ac−ｂｂにするんですよ


そして

マイナスの　部分は　iにして　ルートの　外に







で

p＋qi　　ｐ-qiな　形を

想定して


３乗　
してくじゃナイスカ









＝　ｋ　kは　実数だよ　にするんだって






式変形で

きょきょ　　　じつじつ


順番は　ぎゃくだけどさ

このほうが　言いやすい







＝ｋ　とするんですが









p＋qi　　ｐ-qi は　


共役ナタメ

ｑ　は　０ではないです


虚部の係数は　＝０　

になるので


式変形から


３ｐｐ＝ｑｑ





これを

代入してきますとです





ｂｂ＝ac

虚数解なので

ｂｂ＝ac　は　０ではない





これなんですが










さらに　式変形してくと

こんな形が　見えてきたよ





これ







ｂ/a　の　後ろを　３乗してみると


１で　実数






マイナス側の

共役な　解も　








１




次はね

等式の　証明なんですが


これは

ゆっくり　整理しながら

歩く速度で





左側の　計算を

バー　なしで

計算して


その結果に　バー　を　つけて
　

共役にしたものが


共役同士の足し算になってる




左の計算の　バーなしをして

計算結果に　バー　を　つけて　共役にしたものが






共役同士の　掛け算に　なってる