「何となくの数学日記」を 姉妹サイト のほうで綴ることになりました。よろしくです。

限られた範囲で定義される関数　高校で微積分を習い始めたばかりの頃に、

画像
の「 x → 0 における極限値を求めなさい」というような練習問題をよく目にしますね。 0/0 の不定形なので、分子を有理化するという手順で f(x) → 1 という極限値を得るのですが、これはこの関数が原点でぽっかり穴が空いている（不連続である）ことを意味しています。

　それに加えてこの関数は分子に根号があるために、x < −1 や 1 > x の値はとれません。原点での不連続性も含めて区間 [-1, 0) および区間 (0, 1] という限られた範囲のみで定義される関数です。実際にエクセルでグラフを描いてみると

　

　このような概形になっています。原点で値をもたず、x = ±1 で √2 の値をとります。
　cosx, sinx を掛けると次のような概形になります。