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　久しぶりの演習問題です。今回は 18 世紀のイタリアの女性数学者、 アニェージ（アーネシ） さんが発見した曲線を題材にしました。

問題54　アニェージの曲線（アーネシの曲線） [高３★★★☆☆]　図のように原点に接するように直径 a の円を置きます。
　原点から円を 2 等分するように垂線を引いて円と交わる点 C をとり、線分 OC に沿うように y 軸を設定します。また C に接するように x 軸に平行な直線 L1 を引きます。そして原点 O から円周上の点 A に線分 OA を引き、その延長戦が L1 と交わる点を B とします。さらに B から線分 OC に平行な直線 L2 を引き、点 A から x 軸に平行にのばした線が L2 を交わる点を P とします。

　

(1) A が円周上を動くとき、P の座標を θ で表してください。
(2) (1) で求めた式から θ を消去して P の描く曲線を y = f(x) の形で表してください。
(3) 曲線 y = f(x) の概形を描いてください。（変曲点の位置も明示してください）