= 2 sqrt(1 - c)
となります。もちろん、この 2 解は実数でなければなりませんから、

c ≦ 1
という条件が付きます。

L(0) = 2,　L(1) = 0,　L(-∞) = ∞
などを考慮して、無理関数 L(c) のグラフは次のようになります。



(2) f(x) を平方完成します。

f(x) = (x + 1)2 + c - 1
よって、頂点の座標は (- 1, c - 1) ですが、y 座標は負であることに注意して

H(c) = 1 - c
となります。

(3) f(x) を β から α まで積分すると負の面積が得られます。
　最初から α から β まで逆方向に積分すれば正の面積が得られますが、計算の便宜上 α - β に関する式が欲しいので、まず負の面積を求めてから最後に - 1 をかけて答えを得ることにします。負の面積は S- と書いておきます。頑張って計算すると、

画像
が得られます。ここで、

α - β = 2 sqrt(1 - c),　α + β = - 2,　αβ = c
ですから、これを代入して - 1 をかけると

S = (4/3)(1 - c)3/2
となります。

(4) T(c) = L(c) H(c) = 2(1 - c)3/2 ですから