一人暮らしの様な理系　大学生

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新型コロナウイルスが蔓延する中、PCR検査「別名ポリメラーゼ連鎖反応（Polymerase Chain Reaction）」というワードをよく耳にします。今回はこの内容を交えて、ベイズの定理を紹介します。

ここで次の例題を考えます。

ex：罹患率0.01%の病気について、
陽性かつ罹患である確率：98% 　陽性であり非罹患である確率：2%
陰性であり罹患である確率：2% 陰性であり非罹患である確率：80%

問　陽性と診断された場合本当に罹患している確率は？

別の言い方をするとすると、
「陽性と判断されたとき、本当にウイルスに感染している確率はどのくらいですか？」
です。

この重要な確率を求める方法こそ
ベイズの定理
です。

では本題に入りましょう。
ベイズの定理は「条件付確率」の式を変形して表すことができます。
条件付確率の具体的な式は

X:原因　Y:結果　として、

P(Y|X)=P(X∩Y)/P(Y)

ここで、P(Y|X)に抵抗がある方がいると思うので日本語でこの式を表現してみましょう。

P(Y|X):Xが起こった条件の下でYが起こる確率となります。
ここで先ほどの「条件付き確率」の式のXとYを交換します。

P(X|Y)=P(X∩Y)/P(X)
となります。

以上の2式からP(X∩Y)を消去すると、

P(X|Y)=P(Y|X)P(X)/P(Y)　X:原因　Y:結果
これがベイズの定理です！









式を見ただけで、意味が即座に分かる人はかなりの天才だと私は思います。
私含め大半の人は初見で

「え？」

となるはずです。なので、早速解説していきましょう！
先程
P(Y|X):Xが起こった条件の下でYが起こる確率
であることを言いました。となると

P(X|Y)は、「Yが起こった条件の下でXが起こる確率」であることを表しています。
ここで注目してほしいのは、ベイズの定理はこの
P(Y|X)とP(X|Y)どちらも含む式だということです！

つまり、過去に何があったかを今ある情報だけで確率を通して知ることができるのです！

数学界の「シャーロックホームズ」といったところでしょうか（笑）







この事実を用いて先ほどの例題を解いてみましょう！

ex：罹患率0.01%の病気について、
陽性かつ罹患である確率：98% 　陽性であり非罹患である確率：2%
陰性であり罹患である確率：2% 陰性であり非罹患である確率：80%

問　陽性と診断された場合本当に罹患している確率は？

解答
今求めたい確率は　P(罹|陽)　です。早速ベイズの定理を使いましょう！

P(罹|陽)=P(陽|罹)P(罹)/P(陽)
となるります。ここで条件より、

P(陽|罹)=0.98 P(罹)=0.001
P(陽)=0.001×0.98+(1-0.001)×0.20
=0.200078
よって
P(罹|陽)=0.98×0.001 /0.200078
=0.00048981

（答え）約0.05%

となります。







今回はベイズの定理について解説しました。分かりにくい部分もあるかもしれませんが、
ここまで読んでいただきありがとうございます。

今回はここまでとします。読んでいただきありがとうございました。
このブログでは「プログラミング」をはじめ様々な分野の記事がありますので
是非そちらもよろしくお願いします。
また、次回お会いしましょう。

どうも！「一人暮らしの様な理系」です。
今回から「大学受験数学」について触れていきたいと思います。
第一回は「集合と命題」です。

「「集合と命題」ってA∩BとかA∪Bとかでしょ？　そんなの簡単だよ！」
という人もいると思いますが、ここでは実践的な使い方を書くつもりです。

ここから先は文が長くなるので、丁寧語などは控えさせていただきます。





変数ｘが全体集合Uに含まれていることを
ｘ∊U
と表し、これを満たす変数ｘを含む式p(x)があり
適当なx=x_0を代入したとき、p(x_0)の真偽が定まるならば
p(x)をx∊Uを変数とする命題関数という。

１．全称命題
「任意のx∊U, p(x)」
を全称命題という。次の言葉が問題文中に含まれていたら疑ってみるべきである。
「任意の、すべての、どの、どんな　etc」
この時は場合分けが発生することが、多くその中の強力な武器の一つとして「数学的帰納法」がある。

２．存在命題
「あるx∊Uが存在, p(x)」
を存在命題という。
「…が存在する。適当な…が選べて、少なくとも１つは存在してetc」
に注目する。この場合は、xをp(x)に当てはめる系が多く

平均値の定理、中間値の定理、鳩ノ巣原理etcがある。

ここで例題を載せておきます。しかし、答えは時間の都合上全てかけないので「方針」「答え」だけを置いておきます。多分このページを見に来てくれた方は、優秀な方だと思うので理解できるはずです。

例題
f(x) =(x-1)^3+x
f_1(x)=f(x)とし、　n≧２に対して
f_n(x)=f(f_n-1(x))とする
どんなn(≧1)についても,
f_n(x)=x の解はx=1に限ることを示せ。











「指針」
まずf(x)を描く。（y=x 上にy=x^3）が乗ったような感じになる。
x>1,x=1,x<1でf(x)>x,f(x)=x,f(x)1 ならば　f_n+1(x)=f(f_n(x))>f_n(x)>1」
が成り立つことがわかる。
そして「x>1ならばf_n(x)>x」を数学的帰納法で示す。

この問題は全称命題の問題です。存在命題の問題はよく見かける
サイコロの「出た目の最大値が〜である確率を求めなさい」
など市販のワークに載っているものが多いのでそちらを参考にしてください。

以上で今回の数学を終わります。

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タグ：数学 大学受験 集合と命題 高校数学 二次試験 理系