今回は指数関数と対数関数の 3 次元バージョンを見ていきます。

折り紙を曲げる途中のようなグラフ？
　どちらも単調な関数ですから、２次元グラフが頭に入っていれば概観を予想することはできます。まずは、z = exp(x + y) という関数のグラフです：

　

　折り紙を対角線に沿って折り曲げる途中のようなグラフですね。上図では完全に平坦な領域があるように見えますが、少し拡大して角度を変えて見てみると ……

　

　全域で傾斜する関数であることがわかります。
　ここで新しく全微分という概念を使ってみましょう。全微分は

dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
で定義されます。 fx と fy は以前にも解説した x と y に関する偏微分記号です。偏微分は x と y どちらかを固定した状態における z の変化を表すだけでしたが、全微分は x, y 両方を変化させたときの z の増加傾向を知ることができます。 z = exp(x + y) について dz を計算してみると、

dz = exp(x + y)(dx + dy)
となります。 exp(x + y) は全領域で正ですから、x と y が共に増加する方向、すなわち dx > 0 , dy > 0 においては z は必ず増